ラグランジュの惑星方程式とは?|摂動と軌道要素の微分方程式

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今回は、摂動により時間変化する軌道要素の様子を記述するラグランジュの惑星方程式について説明します。

ラグランジュの惑星方程式

$a,e,i,t_{\pi},\omega,\Omega$ を軌道要素、$R$ を摂動関数としてラグランジュの惑星方程式は次のように表される。

$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\diff a}{\diff t}=\ff{2}{na}\ff{\del R}{\del \sigma}\EE
&\ff{\diff e}{\diff t}=\ff{1-e^2}{na^2e}\ff{\del R}{\del \sigma}-\ff{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\ff{\del R}{\del \omega} \EE
&\ff{\diff i}{\diff t}=\ff{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\tan i}\ff{\del R}{\del \omega}-\ff{\sqrt{1-e^2}}{na^2e\sin i}\ff{\del R}{\del \Omega} \EE
&\ff{\diff \sigma}{\diff a}=-\ff{2}{na^2\sqrt{1-e^2}}\ff{\del R}{\del a}-\ff{1-e^2}{na^2e}\ff{\del R}{\del e} \EE
&\ff{\diff \omega}{\diff a}=\ff{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\ff{\del R}{\del e}-\ff{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\tan i}\ff{\del R}{\del i} \EE
&\ff{\diff \Omega}{\diff t}=\ff{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\ff{\del R}{\del i} \EE
\end{split}
\right.
$$

ただし、$n$ を平均運動(天体の角速度に相当する量)、$\sigma=-nt_{\pi}$ とする。

まずは、軌道要素と摂動関数の関係について考えてみます。

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軌道要素と摂動関数

摂動についてより深い考察を得るため、図のように、質量 $m_1$ の恒星の周りを質量 $m_2$ の惑星が公転しており、この近傍に質量 $m’$ の天体が存在している状況について考えます。

ラグランジュの惑星方程式

このときの運動方程式は摂動関数を導出したときと同様にして、次のように記述できます。($G$ は万有引力定数、$\nabla$ はナブラという微分演算子を表します)

\begin{split}
\ff{\diff^2 \B{r}}{\diff t^2}+G\ff{m_1+m_2}{r^3}\B{r}=\nabla Gm’ \left(\ff{1}{\rho}-\ff{\B{r}\cdot\B{r}’}{r’} \right)
\end{split}

ここで、$R=\DL Gm’ \left(\ff{1}{\rho}-\ff{\B{r}\cdot\B{r}’}{r’} \right)$ として上式を簡単にしておきます。

\begin{split}
\ff{\diff^2 \B{r}}{\diff t^2}+G\ff{m_1+m_2}{r^3}\B{r}=\nabla R
\end{split}

今、$\B{r}=(x,y,z)$ となりますが、簡単のため $x=x_1,y=x_2,z=x_3$ として、$\DL{\ff{\diff x_i}{\diff t}=v_i}$ という関係を導入すると、上式の各成分を以下のように整理できます。

\begin{split}
\ff{\diff^2 x_i}{\diff t^2}=\ff{\diff v_i}{\diff t}=-G\ff{m_1+m_2}{r^3}x_i+\ff{\del R}{\del x_i}
\end{split}

もし、$\DL{\ff{\del R}{\del x_i}=0}$ であれば、二体問題になるので解析的に完全に解くことができます。このとき、定数 $6$ つの軌道要素 $a,e,i,t_{\pi},\omega,\Omega$ と時間 $t$ を用いて、一般に関数 $f,g$ により記述できます。

$$
\left\{
\begin{split}
&x_i=f_i(a,e,t_{\pi},i,\Omega,\omega,t) \EE
&\quad\,=f_i(a,e,\sigma,i,\Omega,\omega,t) \EE
&\ff{\diff x_i}{\diff t}=v_i=g_i(a,e,\sigma,i,\Omega,\omega,t)
\end{split}
\right.
$$

ここでは分かり易くするため、近心点通過時刻 $t_{\pi}$ に平均運動 $n$ をかけて、次のように定義される近心点の平均近点離角 $\sigma$ を代わりに用いることとします。

\begin{split}
\sigma=-nt_{\pi}
\end{split}

問題は摂動がある場合ですが、このとき、$\DL{\ff{\del R}{\del x_i}\neq0}$ であり、また、各軌道要素が時間経過により変化するために、時間の関数と見なせます。これに注意すると、前述の式の時間微分を連鎖律を通して以下のように表現できます。

$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\diff x_i}{\diff t}=\ff{\del f_i}{\del t}+\sum_{j=1}^6\ff{\del f_i}{\del c_j}\ff{\diff c_j}{\diff t}=(v_i=g_i)\EE
&\ff{\diff v_i}{\diff t}=\ff{\del g_i}{\del t}+\sum_{j=1}^6\ff{\del g_i}{\del c_j}\ff{\diff c_j}{\diff t}=-G\ff{m_1+m_2}{r^3}f_i+\ff{\del R}{\del x_i}
\end{split}
\right.
$$

なお、記述を簡単にするために、各軌道要素を $c_j$ で代表して表現しています。

今、$\DL{\ff{\del f_i}{\del t}=g_i,\ff{\del g_i}{\del t}=\dot{f}_i=-G\ff{m_1+m_2}{r^3}f_i}$ は恒等的に成立するため、

$$
\left\{
\begin{split}
&\sum_{j=1}^6\ff{\del f_i}{\del c_j}\ff{\diff c_j}{\diff t}=0\qquad \,\,(1)\EE
&\sum_{j=1}^6\ff{\del g_i}{\del c_j}\ff{\diff c_j}{\diff t}=\ff{\del R}{\del x_i}\quad(2)
\end{split}
\right.
$$

とできます。今知りたいのは、軌道要素の時間変化である $\DL{\ff{\diff c_i}{\diff t}}$ です。次節以降では、これを明らかにすることを目指して式変形を進めていきます。

摂動関数の整理と軌道要素の関係の導出

$\DL{\ff{\diff c_i}{\diff t}}$ を得るために準備が必要となります。技巧的になりますが、始めに以下の式について計算します。

\begin{eqnarray}
&&\sum_{i=1}^n\left(\ff{\del f_i}{\del c_l}\ff{\del g_i}{\del c_j}-\ff{\del g_i}{\del c_l}\ff{\del f_i}{\del c_j} \right)\ff{\diff c_j}{\diff t}\EE
=&&\sum_{i=1}^n\left(\ff{\del x_i}{\del c_l}\ff{\del \dot{x}_i}{\del c_j}-\ff{\del \dot{x}_i}{\del c_l}\ff{\del x_i}{\del c_j} \right)\ff{\diff c_j}{\diff t}\EE
\end{eqnarray}

これに式 $(1)$ と式 $(2)$ を適用すると、

\begin{eqnarray}
&&\sum_{i=1}^n\left(\ff{\del x_i}{\del c_l}\ff{\del \dot{x}_i}{\del c_j}-\ff{\del \dot{x}_i}{\del c_l}\ff{\del x_i}{\del c_j} \right)\ff{\diff c_j}{\diff t}\EE
=&&\ff{\del R}{\del x_1}\ff{\del x_1}{\del c_l}+\ff{\del R}{\del x_2}\ff{\del x_2}{\del c_l}+\ff{\del R}{\del x_3}\ff{\del x_3}{\del c_l}=\ff{\del R}{\del c_l}\tag{a}
\end{eqnarray}

が得られます。いささか唐突ですが、ここで次のような運動量 $L,H,I$ を導入します。なお、$\mu=G(m_1+m_2)$ とします。

$$
\left\{
\begin{split}
&L=\sqrt{\mu a} \EE
&H=\sqrt{\mu a(1-e^2)} \EE
&I=\sqrt{\mu a(1-e^2)}\cos i
\end{split}
\right.
$$

これらを $a,e,i$ で微分して、次のようにします。

$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\del L}{\del a}=\ff{1}{2}\sqrt{\ff{\mu}{a}},\,\,\ff{\del L}{\del e}=0,\,\,\ff{\del L}{\del i}=0 \EE
&\ff{\del H}{\del a}=\ff{1}{2}\sqrt{\ff{\mu(1-e^2)}{a}},\,\,\ff{\del H}{\del e}=-\sqrt{\ff{\mu ae}{1-e^2}},\,\,\ff{\del H}{\del i}=0 \EE
&\ff{\del I}{\del a}=\ff{1}{2}\sqrt{\ff{\mu(1-e^2)}{a}}\cos i,\,\,\ff{\del I}{\del e}=-\sqrt{\ff{\mu ae}{1-e^2}}\cos i,\,\,\ff{\del I}{\del i}=-\sqrt{\mu a(1-e^2)}\sin i
\end{split}
\right.
$$

ケプラーの第三法則の証明結果より、$\DL{\sqrt{\ff{\mu}{a}}=na}$ の関係と言えるので、

$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\del L}{\del a}=\ff{1}{2}na,\,\,\ff{\del L}{\del e}=0,\,\,\ff{\del L}{\del i}=0 \EE
&\ff{\del H}{\del a}=\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2},\,\,\ff{\del H}{\del e}=-\ff{n a^2e}{\sqrt{1-e^2}},\,\,\ff{\del H}{\del i}=0 \EE
&\ff{\del I}{\del a}=\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2}\cos i,\,\,\ff{\del I}{\del e}=-\ff{na^2e\cos i}{\sqrt{1-e^2}},\,\,\ff{\del I}{\del i}=-na^2\sqrt{1-e^2}\sin i
\end{split}
\right.
$$

と整理できます。

ラグランジュの括弧式による軌道要素の展開

さらに計算を簡単にするため、ラグランジュの括弧式と呼ばれる記法を導入します。ラグランジュの括弧式とは、以下のように定義される式のことです。

\begin{split}
[\A,\beta]=\sum_{i=1}^3\left(\ff{\del F_i}{\del \A}\ff{\del \dot{F}_i}{\del \beta}-\ff{\del \dot{F}_i}{\del \A}\ff{\del F_i}{\del \beta} \right)
\end{split}

ところで、以下の関係が成立ことより、

$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\del \sigma}{\del t}=n=\sqrt{\mu a}=L\EE
&\ff{\del \omega}{\del t}=\sqrt{\mu a(1-e^2)}=H \EE
&\ff{\del \Omega}{\del t}=\sqrt{\mu a(1-e^2)}\cos i=I
\end{split}
\right.
$$

が成立し、$\dot{\sigma}=L$ のような関係が成立することより、軌道要素についてのラグランジュの括弧式を次のように計算できます。

\begin{split}
[c_l,c_j]&=\left(\ff{\del \sigma}{\del c_l}\ff{\del L}{\del c_j}-\ff{\del L}{\del c_l}\ff{\del \sigma}{\del c_j} \right)+\left(\ff{\del \omega}{\del c_l}\ff{\del H}{\del c_j}-\ff{\del H}{\del c_l}\ff{\del \omega}{\del c_j} \right)\EE
&\qquad+\left(\ff{\del \Omega}{\del c_l}\ff{\del I}{\del c_j}-\ff{\del I}{\del c_l}\ff{\del \Omega}{\del c_j} \right)
\end{split}

ここまで求めた結果を用いて、いよいよラグランジュの惑星方程式の導出を行います。

ラグランジュの惑星方程式の導出

上で計算したラグランジュの括弧式について、まずは $[\sigma,a]$ について計算してみると、

\begin{split}
[\sigma,a]&=\left(\ff{\del \sigma}{\del \sigma}\ff{\del L}{\del a}-\ff{\del L}{\del \sigma}\ff{\del \sigma}{\del a} \right)+\left(\ff{\del \omega}{\del \sigma}\ff{\del H}{\del a}-\ff{\del H}{\del \sigma}\ff{\del \omega}{\del a} \right)\EE
&\qquad+\left(\ff{\del \Omega}{\del \sigma}\ff{\del I}{\del a}-\ff{\del I}{\del \sigma}\ff{\del \Omega}{\del a} \right)\EE
&=\ff{\del \sigma}{\del \sigma}\ff{\del L}{\del a}=\ff{1}{2}na
\end{split}

となります。同様について他のペアとの計算を具体的に行い、ラグランジュの括弧式が $0$ とならないものを並べると、以下のようになります。

$$
\left\{
\begin{split}
&[\omega,a]=\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2}\EE
&[\omega,e]=–\ff{n a^2e}{\sqrt{1-e^2}}\EE
&[\Omega,a]=\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2}\cos i\EE
&[\Omega,a]=–\ff{n a^2e\cos i}{\sqrt{1-e^2}} \EE
&[\Omega,i]=-n a^2\sqrt{1-e^2}\sin i
\end{split}
\right.
$$

この結果を式$(a)$に適用すると、

$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\del R}{\del \sigma}=\ff{1}{2}na\ff{\diff a}{\diff t}\EE
&\ff{\del R}{\del \omega}=\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2}\ff{\diff a}{\diff t}-\ff{na^2e}{\sqrt{1-e^2}}\ff{\diff e}{\diff t} \EE
&\ff{\del R}{\del \Omega}=\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2}\cos i\ff{\diff a}{\diff t}-\ff{na^2e\cos i}{\sqrt{1-e^2}}\ff{\diff e}{\diff t}-na^2\sqrt{1-e^2}\sin i\ff{\diff i}{\diff t} \EE
&\ff{\del R}{\del a}=-\ff{1}{2}na\ff{\diff \sigma}{\diff t}-\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2}\ff{\diff \omega}{\diff t}-\ff{1}{2}na\sqrt{1-e^2}\cos i\ff{\diff \Omega}{\diff t} \EE
&\ff{\del R}{\del e}=\ff{na^2e}{\sqrt{1-e^2}}\ff{\diff \omega}{\diff t}+\ff{na^2e\cos i}{\sqrt{1-e^2}}\ff{\diff \Omega}{\diff t} \EE
&\ff{\del R}{\del i}=n a^2\sqrt{1-e^2}\sin i\ff{\diff \Omega}{\diff t}
\end{split}
\right.
$$

大変ですが、これを目標としていた軌道要素の時間微分の形に整理すると、以下の一連の式が得られます。

$$
\left\{
\begin{split}
&\ff{\diff a}{\diff t}=\ff{2}{na}\ff{\del R}{\del \sigma}\EE
&\ff{\diff e}{\diff t}=\ff{1-e^2}{na^2e}\ff{\del R}{\del \sigma}-\ff{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\ff{\del R}{\del \omega} \EE
&\ff{\diff i}{\diff t}=\ff{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\tan i}\ff{\del R}{\del \omega}-\ff{\sqrt{1-e^2}}{na^2e\sin i}\ff{\del R}{\del \Omega} \EE
&\ff{\diff \sigma}{\diff a}=-\ff{2}{na^2\sqrt{1-e^2}}\ff{\del R}{\del a}-\ff{1-e^2}{na^2e}\ff{\del R}{\del e} \EE
&\ff{\diff \omega}{\diff a}=\ff{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\ff{\del R}{\del e}-\ff{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\tan i}\ff{\del R}{\del i} \EE
&\ff{\diff \Omega}{\diff t}=\ff{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\ff{\del R}{\del i} \EE
\end{split}
\right.
$$

これが、ラグランジュの惑星方程式と呼ばれる一連の微分方程式となります。

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