ローレンツ力を説明した際に明らかにしたように、運動する荷電粒子には電場や磁場から力を受けます。この性質を利用すると電子の質量と電荷素量の比、比電荷を導くことができます。
今回は物理学で重要な定数である、比電荷を実験的に導いたトムソンの実験について説明します。
電荷素量についてはミリカンの実験から既に分かっています。そのため、比電荷が分かると電子の質量も直ちに求められます。まずは、トムソンの実験の詳細について説明していきます。
トムソンの実験とは？
トムソンの実験は電子の持つ電気量、電荷素量 $e$ と電子の質量 $m$ との比、比電荷 $\DL{\ff{e}{m}}$ を決定する実験です。トムソンの実験に用いる実験装置は下図のような構成となっています。
実験装置は真空中に置かれていて、コンデンサーと磁石、そしてスクリーンから構成されています。なお、コンデンサーの間には一様な電場 $\B{E}$ が作用しており、そして磁石の間には一様な磁束密度 $\B{B}$ が作用しているとします。
この装置に、電子銃から発射された電子が速度 $v$ で直進してきます。
入射した電子が領域 $1$ に到達すると、電場と磁場の影響を受けて電子の軌道が変化します。領域 $2$ に到達後は電子に力は作用しないため、軌道は変化せず直進します。その後、電子はスクリーンの原点からある程度離れた点 $P$ に衝突します。
スクリーンに蛍光塗料などを塗っておけば電子が衝突した箇所が輝点となるので、スクリーン上の座標を目視で測定できます。
このような状況の下で、電子の運動を解析すると比電荷が求められます。次節では電子に作用する力を求め、運動方程式を解いて行きます。
電子の軌跡の解析
始めに、トムソンの実験において電子に作用する力 $\B{F}$ について考えます。今回、電子は非常に軽いため、重力の影響を無視できます。そのため、電子にはローレンツ力のみが作用していると見なせます。したがって、$\B{F}$ が次のように表せます。
\begin{split}
\B{F}=e(\B{E}+\B{v}\times\B{B})
\end{split}
それぞれの力の向きは下図のような配置となります。つまり、静電気力 $e\B{E}$ は $y$ 軸正方向に作用し、アンペア力 $\B{f}=e\B{v}\times\B{B}$ は $x$ 軸の正方向に作用します。なお、$z$ 方向に力は作用しないため、$z$ 方向の速さは変化しません。
この状況にて、$x,y$ それぞれの方向の速度変化を考えましょう。まず、$y$ 方向の運動方程式を考えると以下のようになり、
\begin{split}
m\ff{\diff^2 y}{\diff t^2}=eE
\end{split}
これを積分すると、$\DL{v_y=\ff{eE}{m}t+C_1},$ $y=\DL{\ff{eE}{2m}t^2+C_1t+C_2}$ となります。電子が領域 $1$ に到達した時刻を $0$ とすれば、$t=0$ にて $v_y=0, y=0$ となります。よって、$C_1=C_2=0$ と言え、
$$
\left\{
\begin{split}
&v_y=\ff{eE}{m}t\EE
&y=\ff{eE}{2m}t^2
\end{split}
\right.
$$
となります。次に、$x$ 方向の運動方程式は以下のようになり、
\begin{split}
m\ff{\diff^2 x}{\diff t^2}=evB
\end{split}
これを積分すると、$\DL{v_x=\ff{evB}{m}t+C_3},$ $x=\DL{\ff{evB}{2m}t^2+C_3t+C_4}$ となります。先程と同じ議論より、$t=0$ にて $v_x=0, x=0$ となります。よって、$C_3=C_4=0$ と言え、
$$
\left\{
\begin{split}
&v_x=\ff{evB}{m}t\EE
&x=\ff{evB}{2m}t^2
\end{split}
\right.
$$
が成立します。これらの結果を用いると、今回の目的である比電荷の導出が行えます。
比電荷の導出
領域 $1$ の幅を $l$ とすると、電子は $T_1=\DL{\ff{l}{v}}$ の時間で領域 $1$ を通り過ぎます。したがって、$x,y$ 方向に獲得する最終的な速さはそれぞれ、
$$
\left\{
\begin{split}
&v_x=\ff{elB}{m}\EE
&v_y=\ff{elE}{mv}
\end{split}
\right.
$$
となります。
領域 $2$ に到達した後、電子の速度は変化しませんが、運動は続けます。そのため、スクリーンに衝突したときの位置は上の速度に領域 $2$ の通過時間を乗じたものとなります。
領域 $2$ の幅を $L$ とします。すると、スクリーンに衝突するまでの時間 $T_2$ は、$T_2=\DL{\ff{L}{v}}$ となります。ゆえに、電子がスクリーンに衝突した際の座標 $x,y$ が以下のように求められます。
$$
\left\{
\begin{split}
&x=v_xT_2=\ff{elLB}{mv}\,\,\,\quad(1)\EE
&y=v_yT_2=\ff{elLE}{mv^2}\,\,\,\,\quad(2)
\end{split}
\right.
$$
これらの結果を用いると比電荷を導くことができます。
式$(1)$より、比電荷 $\DL{\ff{e}{m}}$ は、$\DL{\ff{e}{m}=\ff{vx}{lLB}}$ と表せます。ただし、$v$ は測定困難なため、$v$ を式から消去する必要があります。これを達成するため、式$(1)$を$(2)$で割って、
\begin{split}
&\ff{x}{y}=\ff{Bv}{E}\EE
\therefore&\,\,v=\ff{Ex}{By}
\end{split}
これを先程の式に適用すると、比電荷を
\begin{split}
\ff{e}{m}=\ff{Ex^2}{lLB^2y}
\end{split}
と求められます。現在得られている比電荷の数値は約 $1.76\times 10^{11}\,\RM{C/kg}$ です。これをミリカンの実験から得られた電荷素量 $e=1.60\times 10^{-19}\,\RM{C}$ と比較すると、電子の質量を $9.11\times 10^{-31}\,\RM{kg}$ と求められます。
