磁場のエネルギーとは?|コイルに蓄えられるエネルギーの形態と大きさ

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電流の流れているコイルには、磁場の形でエネルギーが蓄えられることが知られています。

このエネルギーのことを、電磁気学では、磁場のエネルギーと呼びます。なお、磁場のエネルギーは次のように表されます。

磁場のエネルギーとエネルギー密度

透磁率を $\mu$、コイルの自己インダクタンスを $L$ として、コイルに $I$ の電流が流れているとする。

このとき、コイルには次のように表される磁場のエネルギー $U_m$ が蓄えられる。

\begin{split}
U_m=\ff{1}{2}LI^2
\end{split}

なお、コイルを貫く磁束密度の大きさを $B$ として、磁場のエネルギー密度(=単位体積当たりの磁場のエネルギー)$u_m$ は次のように表せる。

\begin{split}
u_m=\ff{B^2}{2\mu}\\
\,
\end{split}

まずは、コイルに流れる電流と仕事の関係について考えていきます。

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コイルに流れる電流と仕事の関係

コイルに流れる電流が $I$ から $I+\D I$ に増加したとき、このコイルに外部からされた仕事について考えてみましょう。なお、コイルの自己インダクタンスを $L$ とします。

さて、電流が $\D t$ の間に増加したとしましょう。このとき、$I\D t$ の電荷を逆起電力 $V=-\DL{L\ff{\D I}{\D t}}$ に逆らって移動させたと考えることができます。したがって、これに必要な外部からの仕事 $\D W$ を次のように計算できます。

\begin{split}
\D W=-V\cdot I\D t=L\ff{\D I}{\D t}\cdot I\D t=LI\D I
\end{split}

これの極限を考えると、コイルの電流を $\diff I$ 変化させるのに必要な外部からの仕事 $\diff W$ を

\begin{split}
\diff W=LI\,\diff I
\end{split}

と置けます。

ここで、電流を $0$ の状態から $I$ まで変化させたとします。すると、この変化に必要な外部からの仕事の大きさ $W$ は、$\diff W$ の和となります。ゆえに積分を用いて、

\begin{split}
W=L\int_0^I I\,\diff I=\ff{1}{2}LI^2
\end{split}

と計算できます。

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磁場エネルギーとは?

上の結果は外部からの仕事の総和を表すものですが、コイルがされた仕事とも言い換えられます。さらに、コイルに蓄えられたエネルギーとも考えられます。

ゆえに、電流が $0$ から $I$ になった結果、コイルは $\DL{\ff{1}{2}LI^2}$ のエネルギーを蓄えたと見ることができます。

このとき、コイルに蓄えられるエネルギーは磁場の形として保存されています。そのため、このエネルギーのことを磁場のエネルギーと呼ぶことにします。

まとめると、自己インダクタンスが $L$ のコイルに $I$ の電流が流れているとき、コイルに蓄えられる磁場のエネルギー $U_m$ を

\begin{split}
U_m=\ff{1}{2}LI^2
\end{split}

と表せます。

ところで、長さが $l$ で断面積が $S$ の $N$ 回巻きのソレノイドコイルの内側の磁束密度の大きさは、$B=\DL{\mu \ff{N}{l}I}$ となります。そのため磁束は $\Phi=B\cdot S= \DL{\ff{\mu N I S}{l}}$ と計算できます。

さらに、自己インダクタンスの定義式である、$\DL{L=\ff{N\Phi}{I}}$ を適用します。すると、ソレノイドコイルの自己インダクタンスを $\DL{L=\ff{\mu N^2 S}{l}}$ と計算できます。ゆえに、ソレノイドコイルの磁場のエネルギー $U_m$ を

\begin{split}
U_m=\ff{\mu N^2 S}{2l}I^2
\end{split}

とできます。

磁場のエネルギーとエネルギー密度

透磁率を $\mu$、コイルの自己インダクタンスを $L$ として、コイルに $I$ の電流が流れているとする。

このとき、コイルには次のように表される磁場のエネルギー $U_m$ が蓄えられる。

\begin{split}
U_m=\ff{1}{2}LI^2\\
\,
\end{split}

磁場のエネルギー密度とは?

上で説明したように、ソレノイドコイルの磁束密度の大きさは $B=\DL{\mu \ff{N}{l}I}$ となります。これを利用すると、ソレノイドコイルの磁場のエネルギーを、

\begin{split}
U_m=\ff{1}{2\mu}B^2lS
\end{split}

と変形できます。

ここで、コイルの体積が $lS$ であることを用いると、コイルが保有する単位体積当たりの磁場のエネルギー=磁場のエネルギー密度 $u_m$ を次のように計算できます。

\begin{split}
u_m=\ff{U_m}{lS}=\ff{B^2}{2\mu}
\end{split}

これより、コイルに蓄えられる単位体積当たりの磁場のエネルギーを次のように表せることが分かります。

磁場のエネルギー密度

透磁率を $\mu$、コイルを貫く磁束密度の大きさを $B$ とする。

このとき、コイル内の磁場のエネルギー密度 $u_m$ は次のように与えられる。

\begin{split}
u_m=\ff{B^2}{2\mu}\\
\,
\end{split}

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