無限に長いソレノイドコイルが作る磁場の導出|ビオ・サバールの法則の応用

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今回はビオ・サバールの法則を用いて、無限に長いソレノイドコイルの内部に形成される磁場の大きさを求めます。

結論から示すと、磁場の大きさは下のように表されます。なお、ソレノイドコイル内に形成される磁場の向きも右ねじの法則に従って形成されます。

ソレノイドコイルの磁場の大きさ

単位長さ当たり $n$ 回巻きのソレノイドコイルに大きさ $I$ の電流が流れているとする。

このとき、ソレノイドコイル内部には次のように表される磁場 $H$ が生じる。

\begin{split}
H=nI\\
\,
\end{split}

このように表される理由を理解するため、まずは一重のコイルの軸線上での微小な磁場の大きさについて考えます。

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線素がコイル軸線上に形成する磁場の導出

図のような半径 $a$ の一重のコイルについて、中心から軸線上に $x$ 離れた位置に形成される磁場 $\B{H}(x)$ について考えます。

コイルの模式図

まずは、$I$ の電流が流れる線素ベクトル $\diff \B{l}$ によって、$x$ の位置に形成される微小な磁場 $\diff \B{H}$ について考えます。この $\diff \B{H}$ はビオ・サバールの法則より次のように計算でき、

\begin{split}
\diff \B{H}=\ff{1}{4\pi}\ff{I\diff \B{l}\times \B{r}}{|\B{r}|^3}
\end{split}

今、$\diff\B{l} \perp \B{r}$ の関係にあることを利用すると、$\diff \B{H}$ の大きさ $\diff |\B{H}|=\diff H$ を、

\begin{split}
|\diff \B{H}|&=\ff{1}{4\pi}\ff{I}{|\B{r}|^2}|\diff \B{l}|\EE
\therefore\, \diff H&=\ff{I}{4\pi r^2}\diff l
\end{split}

と計算できます。次に、$\diff H$ に関係する幾何学的な関係について考えます。

微小な磁場の幾何学的な関係

上図から分かるように、$\diff H$ は鉛直方向と水平方向に分解できて、例えば、鉛直方向の成分 $\diff H_n$ と水平方向の成分 $\diff H_t$ は以下のように表せます。

$$
\left\{
\begin{split}
&\diff H_n=\diff H\cos \varphi\EE
&\diff H_t=\diff H\sin \varphi
\end{split}
\right.
$$

この結果を用いて、コイルの軸線上の任意の位置 $x$ の形成される磁場を次節にて求めます。

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コイル軸線上の磁束の導出

線素に流れる電流がコイルの軸線上 $x$ の位置に形成する微小な磁場を計算できました。この結果を用いてコイルの軸線上 $x$ の位置に形成される磁場について求めます。

さて、$\DL{\cos\varphi=\ff{a}{\sqrt{x^2+a^2}},\sin\varphi=\ff{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}$ であるため、前述の結果は、

$$
\left\{
\begin{split}
&\diff H_n=\ff{I}{4\pi r^2}\ff{a}{\sqrt{x^2+a^2}}\diff l\EE
&\diff H_t=\ff{I}{4\pi r^2}\ff{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\diff l
\end{split}
\right.
$$

とできます。これをコイルの一周に沿って足し合わせた周回積分を実行すると、目的の磁場の大きさが計算できます。

まず、$\diff H_t$ について周回積分した結果ですが、$\diff H_t$ に対称性があることを用いると、

\begin{split}
H_t=\oint \diff H_t=0
\end{split}

が言えます。次に、鉛直方向の微小な磁場 $\diff H_n$ の周回積分を実行すると次のようになります。

\begin{split}
H_n&=\oint \diff H_n\EE
&=\oint \ff{I}{4\pi r^2}\ff{a}{\sqrt{x^2+a^2}}\diff l\EE
&= \ff{I}{4\pi r^2}\ff{a}{\sqrt{x^2+a^2}}\oint\diff l \EE
&=\ff{I}{4\pi r^2}\ff{a}{\sqrt{x^2+a^2}}\cdot 2\pi a\EE
&=\ff{a^2 I}{2(x^2+a^2)^{\ff{3}{2}}}
\end{split}

以上の結果より、コイルの軸線上 $x$ の位置に形成される磁場の大きさ $H(x)$ が $H(x)=\DL{\ff{a^2 I}{2(x^2+a^2)^{\ff{3}{2}}}}$ であることが分かります。

コイルの軸線上に形成される磁場の大きさ

半径 $a$ のコイルに $I$ の電流が流れているとき、
軸線上の $x$ の位置に形成される磁場の大きさ $H(x)$ は次のように表される。

\begin{split}
H(x)=\ff{a^2 I}{2(x^2+a^2)^{\ff{3}{2}}}\\
\,
\end{split}

なお、$x=0$ すなわち、コイルの中心の位置を適用すると、$H_n=\DL{\ff{I}{2a}}$ となって、こちらで計算した結果と一致します。

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ソレノイドコイルの磁場の導出

上で導出したコイルの磁場の計算結果を用いて、複数のループから形成されるコイル=ソレノイドコイルの磁場を導出します。

半径 $a$ で左右に無限に伸びるソレノイドコイルを考え、これに $I$ の電流が流れているとします。また、ソレノイドコイルの中心軸を $x$ 軸とし、軸線上に原点を設定します。

このとき、$x$ の位置にある一巻き分のコイルが、原点に作る磁場 $\diff H$ は先程求めた結果より、

\begin{split}
\diff H=\ff{a^2 I}{2(x^2+a^2)^{\ff{3}{2}}}
\end{split}

と言えます。今、単位長さ当たりのコイルの巻き数を $n$ とすると、微小な範囲 $\diff x$ の範囲に $n\diff x$ 回分のコイルが含まれているため、この範囲のコイルが原点に作る磁場の大きさを

\begin{split}
\diff H=\ff{na^2 I}{2(x^2+a^2)^{\ff{3}{2}}}\diff x
\end{split}

と計算できます。これを $-\infty$ から $\infty$ の範囲で積分すると求めたいソレノイドコイル中心での磁場の大きさ $H$ が求められます。具体的には、

\begin{split}
H&=\int_{0}^{\infty}\ff{na^2 I}{2(x^2+a^2)^{\ff{3}{2}}}\diff x\EE
&=na^2I\int_{0}^{\infty}\ff{1}{(x^2+a^2)^{\ff{3}{2}}}\diff x
\end{split}

ここで、上図のように角度 $\varphi$ を設定すると、$x=\DL{a\tan\varphi}$ とできるので、

\begin{split}
H&=na^2I\int_{0}^{\ff{\pi}{2}}\ff{1}{(a^2\tan^2\varphi+a^2)^{\ff{3}{2}}}\cdot\ff{a}{\cos^2\varphi}\diff \varphi\EE
&=nI\int_{0}^{\ff{\pi}{2}}\cos\varphi\,\diff \varphi
\end{split}

と置換でき、これを計算すると、

\begin{split}
H&=nI\int_{0}^{\ff{\pi}{2}}\cos\varphi\,\diff \varphi\EE
&=nI
\end{split}

が得られます。

ソレノイドコイルの磁場の大きさ

単位長さ当たり $n$ 回巻きのソレノイドコイルに大きさ $I$ の電流が流れているとする。

このとき、ソレノイドコイル内部には次のように表される磁場 $H$ が生じる。

\begin{split}
H=nI\\
\,
\end{split}

なお、アンペールの法則よりコイル内部の磁場の大きさはどこでも $IN$ となることが言えます。

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