電磁気学の基礎方程式であるマクスウェル方程式は、四つの方程式から構成されています。これらの方程式の具体的な内容は、次のようになります。
$1.$ 電荷密度が $\sigma$ の電荷は、電束密度(電場を一般化した概念) $\B{D}$ を生み出す。(ガウスの法則とクーロンの法則に相当)
\begin{split}
\RM{div}\B{D}=\sigma
\end{split}
$2.$ 単磁荷（＝モノポール）は存在しない。すなわち、$\B{B}$ を磁束密度として以下が成立する。
\begin{split}
\RM{div}\B{B}=0
\end{split}
$3.$ 時間変化する磁場は、回転する電場を生み出す。すなわち、$\B{E}$ を電場、$\B{B}$ を磁束密度として以下が成立する。（電磁誘導の法則に相当）
\begin{split}
\RM{rot}\B{E}=-\ff{\del \B{B}}{\del t}
\end{split}
$4.$ 電流と時間変化する電束密度(電場)は、回転する磁場を生み出す。すなわち、$\B{H}$ を磁場、$\B{i}$ を電流密度として以下の関係が成立する。(アンペール・マクスウェルの法則に相当)
\begin{split}
\RM{rot}\B{H}=\B{i}+\ff{\del \B{D}}{\del t}\\
\,
\end{split}
なお、式中の $\RM{div}$ や $\RM{rot}$ は、ダイバージェンス、ローテーションと読みます。詳細はこちらで説明しています。
※ 熱力学に登場するマクスウェルの関係式についてはこちらで説明しています。
始めに、第一と第二の方程式の内容について説明します。
電場と磁場のガウスの法則
冒頭に示したマクスウェル方程式を構成する四つの式の内、一番目と二番目の方程式の内容について説明します。
第一の方程式の意味
一番目の方程式は、ある領域の中に存在する正味の電気量と電場の大きさを結びつける、ガウスの法則とクーロンの法則を表します。具体的には、電荷が電束密度（電場を一般化した概念）を生むこと、そして、その大きさについて規定する内容となります。
この法則は、電荷を湧き出しあるいは吸い込みとして考え、そこから伸びる電気力線を描画すると理解し易くなります。
例えば、図のように電気量 $q$ の正電荷と $-q$ の負電荷が配置されている場合について考えます。
今、ある閉曲線または閉曲面内に二つの正電荷が存在しているとします。この場合、閉曲面を貫く電気力線の本数は $4\pi k\cdot(q+q)=8\pi kq$ 本となります。なお、電場の大きさも $8\pi kq$ となります。
一方、電気量の大きさが等しい正電荷と負電荷が配置されているとき、閉曲線を貫く正味の電気力線は $0$ となります。また、電場の大きさも $0$ となります。これを数式で表すと $4\pi k\cdot(q-q)=0$ 本となります。
この一連の計算を、電荷が連続して分布する空間に拡張すると、$\RM{div}\B{D}=\sigma$ という洗練された表現となります。
第二の方程式の意味
二番目の方程式は磁束密度（磁場を一般化した概念）に関してのガウスの法則に相当し、磁場に関するガウスの法則と呼ばれるものです。
$2.$ 単磁荷（＝モノポール）は存在しない。すなわち、$\B{B}$ を磁束密度として以下が成立する。
\begin{split}
\RM{div}\B{B}=0\\
\,
\end{split}
上で説明した内容から分かる通り、$\RM{div}\B{B}$ という式は、ある領域内の正味の磁気量を計算することを意味します。
第二式では、この計算結果が $0$ となることがポイントとです。すなわち、宇宙並みの巨大な領域を調べたとしても、その範囲に含まれる $N$ 極と $S$ 極の磁気量が等しくなることを意味しています。
言い換えると、$N$ 極のみの磁石や $S$ 極のみの磁石（このような磁石は単磁気あるいはモノポールと呼ばれます）は存在しないということになります。
電場と磁場の電磁誘導の法則
次に、三番目と四番目の方程式の内容について説明していきます。これらの式は、時間変化する電場や磁場が周囲に与える影響について記述した方程式となります。
三番目の方程式の意味
三番目の式は、電磁誘導の法則について説明した方程式です。
この方程式は、磁束の時間変化が閉回路に誘導起電力を生み出す様子を記述しています。具体的には、磁束の時間変化率が $\DL{\ff{\diff \Phi}{\diff t}}$ であるとき、誘導起電力 $V$ は、
\begin{split}
V=-\ff{\diff \Phi}{\diff t}\\
\end{split}
となることを意味しています。
ところで、回路中の電場を $\B{E}$、その面積を $S$、回路を貫く磁束密度を $\B{B}$とします。すると、
$$
\left\{
\begin{split}
V&=\oint_C\B{E}\cdot\diff \B{l}\EE
\Phi&=\int_S\B{B}\cdot\B{n}\,\diff S
\end{split}
\right.
$$
とできることより、上式を $\DL{\oint_C\B{E}\cdot\diff \B{l}=-\ff{\diff}{\diff t}\int_S\B{B}\cdot\B{n}\,\diff S}$ と変形できます。
閉回路の面積 $S$ が時間変化しないと仮定して、流体力学の循環と渦度の関係で説明したストークスの定理を適用すると、以下のようにできます。
\begin{split}
\int_S \RM{rot}\B{E}\cdot \B{n}\,\diff S=-\int_S\ff{\del\B{B}}{\del t}\cdot\B{n}\,\diff S
\end{split}
この関係が恒等的に成立するため、$\DL{\RM{rot}\B{E}=-\ff{\del\B{B}}{\del t}}$ とでき、三番目のマクスウェル方程式が得られます。
この式は、『時間変化する磁場は、回転する電場を生み出す』あるいは、『回転する電場は磁場を生み出す』ということを教えてくれます。
四番目の方程式の意味
それでは、最後の四番目の式の意味について説明します。
この式はアンペール・マクスウェルの法則とも呼ばれており、『伝導電流と時間変化する電束密度は回転する磁場を生み出す』ことを意味します。
これは、定常電流あるいは定常な電流密度について、磁場が生まれることを説明するアンペールの法則に、電荷保存則を満たすように修正したものとなります。
具体的には、電束密度の時間変化が、右辺の第二項として付け足されたものになります。なお、この項は変位電流密度とも呼ばれます。
