ベルヌーイの微分方程式の解法|非線形微分方程式の解法①

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今回は非線形微分方程式の一種である、ベルヌーイの微分方程式の解法について説明します。

ベルヌーイの微分方程式とは?

$P(x),Q(x)$ を $x$ の多項式として、以下で表される非線形微分方程式をベルヌーイの微分方程式と呼ぶ。

\begin{split}
\ff{\diff y}{\diff x}+P(x)y+Q(x)y^n=0\quad(n\neq 0,1)\\
\,
\end{split}

そして、ベルヌーイの微分方程式の一般解は次の様になります。

ベルヌーイの微分方程式の一般解

ベルヌーイの微分方程式の解 $y$ は次の様に与えられる。

\begin{split}
u(x)=y^{-(n-1)}=A\,z(x)+(n-1)z(x)\int \ff{Q(x)}{z(x)}\diff x
\end{split}

ただし、$A$ を定数、$z(x)=\DL{\exp \left(\int(n-1)P(x)\diff x \right)}$ とする。

なお、ベルヌーイの微分方程式の解は、リッカチの微分方程式を解く際に重要な役割を果たします。

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ベルヌーイの微分方程式とは?

早速ですが、ベルヌーイの微分方程式は以下のように表される非線形微分方程式のことを言います。

ベルヌーイの微分方程式とは?

$P(x),Q(x)$ を $x$ の多項式として、以下で表される非線形微分方程式をベルヌーイの微分方程式と呼ぶ。

\begin{split}
\ff{\diff y}{\diff x}+P(x)y+Q(x)y^n=0\quad(n\neq 0,1)\\
\,
\end{split}

ベルヌーイの方程式の例として、

\begin{split}
\ff{\diff y}{\diff x}+xy+x^2y^2=0
\end{split}

などが考えらえます。この方程式には $2$ 次以上の項が含まれているので、非線形微分方程式となります。

このように、ベルヌーイの微分方程式は非線形部分方程式となります。つまり、ラプラス変換のような方法では解けないので、工夫して解いて行く必要があります。

工夫の第一歩として、ベルヌーイの微分方程式を一階線形微分方程式に帰着させます。

ベルヌーイの微分方程式の一階線形微分方程式への帰着

それでは、ベルヌーイの微分方程式を一階線形微分方程式に帰着することを考えます。最初の一手として、両辺を $y^n$ で割ります。実行すると、

\begin{eqnarray}
\ff{1}{y^n}\ff{\diff y}{\diff x}+\ff{1}{y^{n-1}}P(x)y+Q(x)=0 \tag{1}
\end{eqnarray}

次の一手として、$\DL{\ff{1}{y^{n-1}}=u}$ と置きます。このとき、

\begin{split}
\ff{\diff u}{\diff x}=(1-n)\ff{1}{y^{n}}\ff{\diff y}{\diff x}
\end{split}

となることを利用すると、式 $(1)$ を

\begin{eqnarray}
\ff{1}{1-n}\ff{\diff u}{\diff x}+P(x)u+Q(x)=0 \tag{2}
\end{eqnarray}

と変形できます。ここまで来れば、$u$ に関する一階線形微分方程式に帰着できたことが分かります。この後は、微分方程式の定石に沿って解を導いていけます。

次節では、ベルヌーイの微分方程式の具体的な解法について説明します。

ベルヌーイの微分方程式の具体例と解法

具体例として、$\DL{\ff{\diff y}{\diff x}+xy=-x^2y^2}$ というベルヌーイの微分方程式の解法について説明していきます。

まず、与式を $y^2$ で割り、

\begin{eqnarray}
\ff{1}{y^2}\ff{\diff y}{\diff x}+\ff{x}{y}=-x^2
\end{eqnarray}

ここで $w=\DL{\ff{1}{y}}$ と置いて上式を変換すると、

\begin{eqnarray}
-\ff{\diff w}{\diff x}+xw=-x^2 \tag{3}
\end{eqnarray}

とできます。これを解くに当たり、まずは 式 $(3)$ の右辺を $0$ とした斉次方程式の解を考えます。すなわち、

\begin{eqnarray}
-\ff{\diff w}{\diff x}+xw=0
\end{eqnarray}

の解を求めます。この解は、ロケット方程式を導いたときと同様の手順で求められます。具体的には以下のように変形し、

\begin{eqnarray}
\ff{\diff w}{w}=x\diff x
\end{eqnarray}

両辺を積分すると、

\begin{split}
\ln|w|&=\ff{1}{2}x^2+C_1 \EE
\therefore\, w&=Ce^{\ff{1}{2}x^2}
\end{split}

が得られます。この次に、本命の微分方程式である式 $(3)$ を解きにいきます。これを解くとき、$w=C(x)e^{\ff{1}{2}x^2}$ と積分定数が $x$ の関数に変化したとして、解を仮定するのがポイントとなります。

このように解を仮定して、式$(3)$に適用して計算すると、

\begin{split}
\ff{\diff C}{\diff x}=-x^2e^{-\ff{1}{2}x^2}
\end{split}

が得られます。これを積分すると、

\begin{split}
C(x)=-xe^{-\ff{x^2}{2}}+\sqrt{\ff{\pi}{2}}\RM{erf}\left( \ff{x}{\sqrt{2}} \right)+A
\end{split}

と求められます。ただし、$\RM{erf}(x)$ はエラー関数とします。以上をまとめると、

\begin{split}
w=\ff{1}{y}=Ae^{\ff{1}{2}x^2}-x+\sqrt{\ff{\pi}{2}}e^{\ff{1}{2}x^2}\RM{erf}\left( \ff{x}{\sqrt{2}} \right)
\end{split}

と与式の解が得られます。

ベルヌーイの微分方程式の一般解

上の例題を参考にして、ベルヌーイの微分方程式の一般解を求めていきます。

先程と同様に、まずは $\DL{\ff{1}{y^{n-1}}=u}$ と置換して、

\begin{eqnarray}
\ff{\diff u}{\diff x}+(1-n)P(x)u+(1-n)Q(x)=0 \tag{4}
\end{eqnarray}

と変形します。次に、$Q(x)=0$ とした斉次方程式の解を求めます。

\begin{eqnarray}
\ff{\diff u}{u}=(n-1)P(x)\diff x
\end{eqnarray}

両辺を積分することで、$u$ は、

\begin{split}
\ln u&=\int(n-1)P(x)\diff x+c\EE
\therefore u &=C\exp\left( \int(n-1)P(x)\diff x \right)
\end{split}

と計算できます。

最後に、$Q(x)$ の存在を考慮したときの解を $u=C(x)\DL{\exp\left( \int(n-1)P(x)\diff x \right)}$ と置き、$(4)$ に適用すると、

\begin{split}
\ff{\diff C(x)}{\diff x}=(n-1)\ff{Q(x)}{\exp\left( \DL{\int(n-1)P(x)\diff x}\right)}
\end{split}

となり、これより

\begin{split}
C(x)=(n-1)\int \ff{Q(x)}{\exp\left( \DL{\int(n-1)P(x)\diff x}\right)} \diff x +a
\end{split}

$z(x)=\DL{\exp\left( \int(n-1)P(x)\diff x \right)}$ としてまとめると、

\begin{split}
u=A z(x)+(n-1)z(x)\int \ff{Q(x)}{z(x)}\diff x
\end{split}

と $u$ が得られます。最後に $\DL{u=\ff{1}{y^{n-1}}}$ の関係より $y$ が得られます。

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