ここまで、三角波のフーリエ級数展開や三次関数のフーリエ級数展開などを求めてきましたが、今回は趣向を変えて、三角関数の無限乗積表示と呼ばれる式をフーリエ級数展開により得る方法を説明します。
今回、導出を目指す三角関数の無限乗積表示は以下のように表せます。
$\A$ を $0<|\A|<1$ を満たす実数として、三角関数の無限乗積表示は以下のように表せる。
\begin{split}
\sin \A\pi = \A\pi\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\ff{\A^2}{k^2} \right)\\
\,
\end{split}
これの導出を行う準備として、余弦関数 $\cos x$ のフーリエ級数展開を実行してみます。
余弦関数のフーリエ級数展開
目標としている三角関数の無限乗積表示を得る準備として、余弦関数 $f(x)=\cos \A x$ のフーリエ級数展開を考えます。さて、目指す形は下のような級数展開表示です。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \ff{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\left( a_k\cos kx + b_k\sin kx \right)
\end{eqnarray}
このとき、$a_k, b_k$ はフーリエ係数と呼ばれ、今回の場合は次の様に表現されます。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
a_0 &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \diff x \EE
a_k &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx \diff x \EE
b_k &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin kx \diff x
\end{eqnarray}
\right.
$$
まず、$a_0$ については、
\begin{split}
a_0 &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \diff x \EE
\pi a_0&=\int_{-\pi}^{\pi} \cos \A x \diff x \EE
&= \ff{1}{\A} \left[ \sin \A x \right]_{-\pi}^{\pi}=\ff{2\sin \A \pi}{\A} \EE
\therefore\, a_0 &=\ff{2\sin \A \pi}{\A\pi}
\end{split}
次に、$a_k$ については、
\begin{split}
a_k &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx \diff x \EE
\pi a_k&=\int_{-\pi}^{\pi} (\cos \A x\cdot\cos kx)\diff x \EE
&=\ff{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\Big( \cos(\A+k)x+\cos(\A-k)x \Big)\diff x \EE
&=\ff{1}{2}\left[ \ff{\sin(\A+k)x}{\A+k}+\ff{\sin(\A-k)x}{\A-k} \right]_{-\pi}^{\pi} \EE
&=(-1)^k \sin \A \pi\left( \ff{1}{k+\A}-\ff{1}{k-\A} \right) \EE
\therefore\, a_k&= \ff{2(-1)^k \A\sin \A \pi}{\pi (\A^2-k^2)}
\end{split}
と求められます。$b_k$ については、三角関数の直交性から $0$ であることが言えます。以上より、$\cos\A\pi$ のフーリエ級数展開が以下のように表示できます。
\begin{eqnarray}
\cos\A x &=& \ff{\sin\A \pi}{\pi}\left(\ff{1}{\A}+2\A\sum_{k=1}^{\infty}\ff{(-1)^k}{\A^2-k^2}\cos k x \right) \tag{1}
\end{eqnarray}
この結果を利用して、目標の三角関数の無限乗積表示の導出を行っていきます。
三角関数の無限乗積の導出
準備が整ったので、三角関数の無限乗積を求めていきます。まず、式$(1)$で得られた $\cos \A\pi$ のフーリエ級数展開に $x=\pi$ を代入してみると以下のようになります。
\begin{split}
\cos\A \pi &= \ff{\sin\A \pi}{\pi}\left(\ff{1}{\A}+2\A\sum_{k=1}^{\infty}\ff{(-1)^k}{\A^2-k^2}\cos k \pi \right) \EE
&=\ff{\sin\A \pi}{\pi}\left(\ff{1}{\A}+2\A\sum_{k=1}^{\infty}\ff{(-1)^k}{\A^2-k^2}(-1)^k \right) \EE
&=\ff{\sin\A \pi}{\pi}\left(\ff{1}{\A}+2\A\sum_{k=1}^{\infty}\ff{1}{\A^2-k^2} \right)
\end{split}
これを整理すると、
\begin{eqnarray}
\pi \ff{\cos \A\pi}{\sin \A\pi}-\ff{1}{\A}=\sum_{k=1}^{\infty}\ff{2\A}{\A^2-k^2} \tag{2}
\end{eqnarray}
が得られます。次に、技巧的になりますが、左辺と右辺について $[0,\A]$ の区間での積分を実行します。まず、左辺については、
\begin{split}
\int_0^{\A} \left(\pi\ff{\cos \A\pi}{\sin \A\pi}-\ff{1}{\A}\right)\diff \A&=\Big[\log |\sin \A \pi|-\log|\A| \Big]_0^{\A} \EE
&=\log (\sin \A \pi)-\log \A-\lim_{\A\to 0}\Big( \log(\sin \A \pi)-\log \A \Big) \EE
&=\log \ff{\sin \A\pi}{\A}-\lim_{\A\to 0}\log \ff{\sin \A\pi}{\A} \EE
&=\log \ff{\sin \A\pi}{\A}-\log\pi \EE
&=\log \ff{\sin \A\pi}{\A\pi}
\end{split}
となって、右辺については、
\begin{split}
\int_0^{\A} \sum_{k=1}^{\infty}\ff{2\A}{\A^2-k^2}\diff \A&=\sum_{k=1}^{\infty}\int_0^{\A}\ff{2\A}{\A^2-k^2}\diff \A \EE
&=\sum_{k=1}^{\infty} \Big[ \log|\A^2-k^2| \Big]_0^{\A} \EE
&=\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1-\ff{\A^2}{k^2} \right) \EE
&=\log \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\ff{\A^2}{k^2} \right)
\end{split}
と計算できます。これらの式を比較すると、
\begin{split}
\ff{\sin \A\pi}{\A\pi}= \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\ff{\A^2}{k^2} \right)
\end{split}
整理すると、
\begin{split}
\sin \A\pi = \A\pi\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\ff{\A^2}{k^2} \right)
\end{split}
となって、目標としていた三角関数の無限乗積が得られました。なお、ガンマ関数の相反公式からも三角関数の無限乗積表示を得ることができます。
また、上式に $\A=\DL{\ff{1}{2}}$ を代入すると、ゼータ関数に関連したバーゼル問題の答えである、
\begin{split}
\ff{1}{\ff{\pi}{2}}&= \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\ff{1}{(2k)^2} \right) \EE
\therefore\,\pi&=\ff{2}{\DL{\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\ff{1}{(2k)^2} \right)}}
\end{split}
が得られて、円周率の関係式が導けます。
