三角形については、余弦定理や正弦定理が成り立つことは高校数学で学んでいると思いますが、実は球面上に描いた三角形(=球面三角形)についても、同様の定理が成立します。
例えば、半径 $1$ の球から三角錐のような形状を切り出したとして、図のように角度 $a,b,c$ と $\A,\beta,\gamma$ を設定したとします。
このとき、以下のような球面三角形の余弦定理と球面三角形の正弦定理が成立します。
球面三角形について、以下の球面三角形の余弦定理が成立する。
$$
\left\{
\begin{split}
&\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \A \EE
&\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos \beta \EE
&\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma
\end{split}
\right.
$$
球面三角形について、以下の球面三角形の正弦定理が成立する。
\begin{split}
\ff{\sin \A}{\sin a}=\ff{\sin \beta}{\sin b}=\ff{\sin \gamma}{\sin c}
\end{split}
今回は、これらの定理の証明を行っていきます。まずは、球面三角形についての説明を行います。
球面三角形とは?
まずは球面上に描かれる三角形である、球面三角形について考えます。
今回は、点 $O$ を中心とする半径 $1$ の球面を考え、球面上の三点 $\RM{A},\RM{B},\RM{C}$ を頂点に持つ図形を描きます。このように、球面上の三点を結んだ図形のことを球面三角形と呼びます。
このとき、球面三角形の各辺は $\RM{A},\RM{B},\RM{C}$ を通る円の弧となっています。また、各弧の長さをそれぞれ $a,b,c$ とおくと、$\angle{\RM{BOC}}=a,$ $\angle{\RM{AOC}}=b,$ $\angle{\RM{AOB}}=c$ とできます。さらに、角度 $\angle{BAC}=\A,$ $\angle{CBA}=\beta,$ $\angle{ACB}=\gamma$ と置きます。
また、球の中心 $O$ と各点を結ぶベクトルを $\B{i},\B{j},\B{k}$ とします。なお、これらのベクトルは条件設定より単位ベクトルとなることに注意して下さい。
これらの条件設定から、冒頭で紹介した余弦定理と正弦定理の導出を行っていきます。
球面三角形の余弦定理
まずは球面三角形の余弦定理の導出を行います。
さて、平面 $\RM{AOB}$ と $\RM{AOC}$ の法線ベクトルをそれぞれ、$\B{m},\B{n}$ とします。すると、以下の関係が成立します。
$$
\left\{
\begin{split}
&\B{i}\times\B{j}=\sin c\,\B{m}& \EE
&\B{i}\times\B{k}=\sin b\,\B{n}
\end{split}
\right.
$$
また、平面 $\RM{AOB}$ と $\RM{AOC}$ の成す角が $\A$ であるので、$\B{m}\cdot\B{n}=\cos \A$ が成り立ちます。そのため、
\begin{eqnarray}
(\B{i}\times\B{j})\cdot(\B{i}\times\B{k})=\sin b\sin c\cos \A\tag{1}
\end{eqnarray}
という関係が得られます。ところで、スカラー三重積の性質からベクトル $\B{a},\B{b},\B{c}$ について以下が成立します。
\begin{split}
\B{a}\cdot(\B{b}\times\B{c})=\B{b}\cdot(\B{a}\times\B{c})=\B{b}\cdot(\B{c}\times\B{a})
\end{split}
さらに、ベクトル三重積の性質より
\begin{split}
\B{a}\times(\B{b}\times\B{c})=(\B{a}\cdot\B{c})\B{b}-(\B{a}\cdot\B{b})\B{c}
\end{split}
が言えます。ここで、$\B{a}=\B{i}\times \B{k}$ と置いて式$(1)$に適用すると、
\begin{split}
(\B{i}\times\B{j})\cdot(\B{i}\times\B{k})&=(\B{i}\times\B{j})\cdot\B{a}\EE
&=\B{a}\cdot(\B{i}\times\B{j})\EE
&=\B{i}\cdot (\B{j}\times \B{a})\EE
&=\B{i}\cdot(\B{j}\times\B{i}\times \B{k})\EE
&=\B{i}\cdot\big\{ (\B{j}\cdot\B{k})\B{i}-(\B{j}\cdot\B{i})\B{k} \big\}\EE
&=\B{j}\cdot\B{k}-(\B{i}\cdot\B{k})(\B{j}\cdot\B{i})
\end{split}
となります。これに今までの結果を適用すると、
\begin{split}
(\B{i}\times\B{j})\cdot(\B{i}\times\B{k})&=\B{j}\cdot\B{k}-(\B{i}\cdot\B{k})(\B{j}\cdot\B{i})\EE
\sin b\sin c\cos \A&=\cos a-\cos b\cos c\EE
\therefore\,\cos a=\cos b&\cos c+\sin b\sin c\cos \A
\end{split}
同様にして、以下の公式も得られます。
$$
\left\{
\begin{split}
&\cos b=\cos c&\cos a+\sin c\sin a\cos \beta \EE
&\cos c=\cos a&\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma
\end{split}
\right.
$$
これらは、冒頭で紹介した球面三角形の余弦定理と一致します。
球面三角形について、以下の球面三角形の余弦定理が成立する。
$$
\left\{
\begin{split}
&\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \A \EE
&\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos \beta \EE
&\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma
\end{split}
\right.
$$
球面三角形の正弦定理の導出
次に球面三角形の正弦定理の導出を行います。
このとき、外積 $(\B{i}\times\B{j})\times(\B{i}\times\B{k})$ について考えてみます。ここでも、ベクトル三重積性質を利用して、
\begin{split}
(\B{i}\times\B{j})\times(\B{i}\times\B{k})&=\big\{ (\B{i}\times\B{j})\cdot \B{k} \big\}\B{i}-\big\{ (\B{i}\times\B{j})\cdot \B{i} \big\}\B{k}
\end{split}
が得られ、これに $(\B{i}\times\B{j})\cdot\B{i}=0$ であることを考慮すると、
\begin{split}
(\B{i}\times\B{j})\times(\B{i}\times\B{k})&=\big\{ (\B{i}\times\B{j})\cdot \B{k} \big\}\B{i}
\end{split}
となります。先程と同様に平面 $\RM{AOB}$ と $\RM{AOC}$ の法線ベクトルをそれぞれ、$\B{m},\B{n}$ とすると、以下の関係が成立します。
$$
\left\{
\begin{split}
&\B{i}\times\B{j}=\sin c\,\B{m}& \EE
&\B{i}\times\B{k}=\sin b\,\B{n}
\end{split}
\right.
$$
すると、先程の外積を次のようにも表せます。
\begin{split}
(\B{i}\times\B{j})\times(\B{i}\times\B{k})&=(\sin b\sin c)\B{m}\times\B{n}
\end{split}
今、$\B{m}\times \B{n}=\sin \A\,\B{i}$ であることに注意すると、
\begin{split}
(\B{i}\times\B{j})\times(\B{i}\times\B{k})&=\sin b\sin c\sin \A\,\B{i}
\end{split}
となり、得られた二式を等値すると、
\begin{split}
(\B{i}\times\B{j})\cdot \B{k} = \sin b\sin c\sin \A
\end{split}
が導けます。スカラー三重積の性質を利用しつつ同様に考えると、
\begin{split}
\sin c\sin b\sin \A=\sin a\sin c\sin \beta=\sin b\sin a\sin \gamma
\end{split}
という等式が得られます。この等式を $\sin a \sin b \sin c$ で割ると
\begin{split}
\ff{\sin \A}{\sin a}=\ff{\sin \beta}{\sin b}=\ff{\sin \gamma}{\sin c}
\end{split}
が得られます。これは冒頭で紹介した球面三角形の正弦定理となります。
球面三角形について、以下の球面三角形の正弦定理が成立する。
\begin{split}
\ff{\sin \A}{\sin a}=\ff{\sin \beta}{\sin b}=\ff{\sin \gamma}{\sin c}
\end{split}
直角球面三角形の公式
最後に、球面三角形についての重要な公式を説明します。具体的には、球面三角形のある角が直角である、直角球面三角形の性質について考えます。
ここでは、$\beta=\DL{\ff{\pi}{2}}$ となる直角球面三角形について考えてみます。この仮定を置くと、先程求めた球面三角形の正弦定理より、
\begin{split}
&\ff{\sin \A}{\sin a}=\ff{1}{\sin b}=\ff{\sin \gamma}{\sin c}\EE
\therefore\,\,&\ff{\sin a}{\sin \A}=\sin b=\ff{\sin c}{\sin \gamma}
\end{split}
が成立します。また、球面三角形の余弦定理より、
\begin{split}
\cos b=\cos c\cos a
\end{split}
が言えます。これの両辺を二乗すると、
\begin{split}
\cos^2 b&=\cos^2 c\cos^2 a \EE
1-\sin^2 b&=(1-\sin^2 c)\cos^2 a
\end{split}
これに先述の正弦定理の結果を適用すると、
\begin{split}
1-\ff{\sin^2 a}{\sin^2\A}&=\left(1-\ff{\sin^2 a}{\sin^2\A}\sin^2 \gamma\right)\cos^2 a
\end{split}
分母を払うと、
\begin{split}
\sin^2\A-\sin^2 a &=\left(\sin^2\A-\sin^2 a\sin^2 \gamma\right)\cos^2 a\EE
\sin^2\A(1-\cos^2a)&=\sin^2a(1-\cos^2a)\sin^2\gamma \EE
\sin^2\A&=\sin^2a\sin^2\gamma \EE
\therefore\,\, \sin\A&=\sin a\sin\gamma
\end{split}
が得られます。このように、直角球面三角形の公式が成立します。