三角波のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例①

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今回は三角波フーリエ級数展開の導出過程について説明します。フーリエ級数展開を利用することで、三角関数以外の周期関数も、数式により表現できることを見ていきます。

さて、結論を先に示すと、三角波のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。

三角波のフーリエ級数展開表示

周期 $2\pi$ の三角波 $f(x)=|x|$ のフーリエ級数展開表示は以下のように表せる。

\begin{split}
f(x) &=\ff{\pi}{2}-\ff{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\ff{\cos (2m-1)x}{(2m-1)^2} \\
\end{split}

周期2πの三角波の模式図

これの導出過程を説明する前に、三角波について説明を行います。

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三角波とは?

三角波とはその名の通り、三角形の波が周期的に繰り返される波のことです。

三角波の例として、下図のような周期が $2a$ のものを示します。

周期2aの三角波の模式図

さて、上の三角波は絶対値を用いることで数学的に表現でき、具体的には以下のように表せます。

$$
f(x)=|x|=\left\{
\begin{split}
&-x\quad(-a\leq x\leq0) \EE
&\,\,x\quad\quad(0\leq x\leq a)
\end{split}
\right.
$$

今回は、周期関数である三角波をフーリエ級数展開により表現することを考えます。

三角波のフーリエ級数展開の導出

ここでは、周期が $2\pi$ の三角波のフーリエ級数展開表示を求めることを考えます。

周期2πの三角波の模式図

目指す形は下のような級数展開表示です。

\begin{eqnarray}
f(x) &=& \ff{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\left( a_k\cos kx + b_k\sin kx \right)
\end{eqnarray}

このとき、$a_k, b_k$ はフーリエ係数と呼ばれ、今回の場合は次の様に表現されます。

$$
\left\{
\begin{eqnarray}
a_0 &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \diff x \EE
a_k &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx \diff x \EE
b_k &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin kx \diff x
\end{eqnarray}
\right.
$$

さて、今回の三角波 $f(x)$ は前述のように、

$$
f(x)=\left\{
\begin{split}
&-x\quad(-\pi\leq x\leq0) \EE
&\,\,x\quad\quad(0\leq x\leq \pi)
\end{split}
\right.
$$

と表せました。したがって、$a_0,a_k,b_k$ 等の各フーリエ係数はこのように求められます。

\begin{split}
a_0 &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \diff x \EE
\pi a_0&=\int_{-\pi}^0 (-x)\diff x+\int_{0}^{\pi} x\diff x =\pi^2 \EE
\therefore\, a_0&=\pi
\end{split}

次に $a_k$ は、

\begin{split}
a_k &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx \diff x \EE
\pi a_k&=\int_{-\pi}^0 (-x)\cos kx\diff x+\int_{0}^{\pi} x\cos kx\diff x \EE
&=2\int_{0}^{\pi} x\cos kx\diff x \EE
&=2\left[ \ff{1}{k}x\sin kx \right]_0^{\pi}-\ff{2}{k}\int_0^{\pi}\sin kx\diff x \EE
&=\ff{2}{k^2}(\cos k\pi-1)=\ff{2}{k^2}\Big( (-1)^k-1 \Big) \EE
\therefore\, a_k&=\ff{2}{\pi k^2} \Big( (-1)^k-1 \Big)
\end{split}

最後に $b_k$ は、

\begin{split}
b_k &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin kx \diff x \EE
\pi b_k&=\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin kx\diff x
\end{split}

今、$f(x)=|x|$ は偶関数、$\sin kx$ は奇関数のため $|x|\sin kx$ は奇関数となります。 そのため、上の積分計算の結果は $0$ となります。ゆえに、

\begin{split}
b_k &= 0
\end{split}

となります。このようにフーリエ係数が求められたので、三角波のフーリエ級数展開が以下のように表せます。

\begin{split}
f(x) &= \ff{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\left\{ \ff{2}{\pi k^2} \Big( (-1)^k-1 \Big)\cdot \cos kx \right\} \EE
&=\ff{\pi}{2}-\ff{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\ff{\cos (2m-1)x}{(2m-1)^2}
\end{split}

冒頭に示した三角波のフーリエ級数展開が導けました。

三角波のフーリエ級数展開の近似精度の確認

上で導いた三角波のフーリエ級数について、実際に描画して見ると以下のようになります。

三角波のフーリエ級数展開による近似

上図より、$m$ の増加に伴って三角波にどんどん近づいていくことが分かります。

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