放物線のフーリエ級数展開に引き続き、今回は三次関数波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、三次関数のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。
周期 $2\pi$ の三次関数 $f(x)=x^3$ のフーリエ級数展開表示は以下のように表せる。
\begin{split}
f(x) =x^3&= 2\sum_{k=1}^{\infty}\ff{(-1)^k}{k}\left( \ff{6}{k^2}-\pi^2 \right)\sin kx
\end{split}
これの導出過程を以下で説明していきます。
三次関数のフーリエ級数展開の導出
下図のような、周期が $2\pi$ の三次関数 $f(x)=x^3$ のフーリエ級数展開を導いていきます。
目指す形は下のような級数展開表示です。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \ff{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\left( a_k\cos kx + b_k\sin kx \right)
\end{eqnarray}
このとき、$a_k, b_k$ はフーリエ係数と呼ばれ、今回の場合は次の様に表現されます。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
a_0 &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \diff x \EE
a_k &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx \diff x \EE
b_k &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin kx \diff x
\end{eqnarray}
\right.
$$
さて、今回の放物線の周期関数 $f(x)$ は前述のように $f(x)=x^3$ です。そのため、$a_0,a_k,b_k$ の各フーリエ係数はこのように求められます。
\begin{split}
a_0 &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \diff x \EE
\pi a_0&=\int_{-\pi}^{\pi} x^3\diff x=0 \EE
\therefore\, a_0&=0
\end{split}
次に $a_k$ は、
\begin{split}
a_k &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos kx \diff x \EE
\pi a_k&=\int_{-\pi}^{\pi} x^3\cos kx\diff x
\end{split}
となり、今 $x^3$ は奇関数、$\cos kx$ は偶関数のため、$x^3\cos kx$ は奇関数となります。ゆえに、右辺の積分結果は $0$ となります。よって、$a_k=0$ となります。
最後に $b_k$ は、
\begin{split}
b_k &= \ff{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin kx \diff x \EE
\pi b_k&=\int_{-\pi}^{\pi} x^3\sin kx\diff x \EE
&=\left[ -\ff{x^3}{k}\cos kx \right]_{-\pi}^{\pi}+\ff{3}{k}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos kx\diff x \EE
&= -\ff{2\pi^3}{k}(-1)^k+\ff{3}{k}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos kx\diff x
\end{split}
右辺第二項の積分は、放物線のフーリエ級数展開での結果を流用することで計算できるので、
\begin{split}
\pi b_k &= -\ff{2\pi^3}{k}(-1)^k+\ff{12\pi}{k^3}(-1)^k \EE
\therefore\, b_k&=\ff{2(-1)^k}{k}\left( \ff{6}{k^2}-\pi^2 \right)
\end{split}
と求められます。
以上よりフーリエ係数が求められたので、放物線波のフーリエ級数展開が以下のように表せます。
\begin{split}
f(x) =x^3&= 2\sum_{k=1}^{\infty}\ff{(-1)^k}{k}\left( \ff{6}{k^2}-\pi^2 \right)\sin kx
\end{split}
冒頭に示した矩形波のフーリエ級数展開が導けました。
三次関数のフーリエ級数展開の近似精度の確認
上で導いた三次関数の周期関数のフーリエ級数展開について、実際に描画すると以下のようになります。
上図より $k$ の増加に伴って三次関数の周期関数にどんどん近づいていくことが分かります。
