フーリエ級数展開を非周期関数に拡張する方法について説明します。
具体的には、非周期関数を周期が無限大の関数と見なすことで以下のようなフーリエ積分表示が得られます。
$f(x)$ を区分的に連続な関数として、区間 $(-\infty,\infty)$ にて無限積分が可能であるとする。
このとき、以下で表される形式的な無限積分を $f(x)$ のフーリエ積分表示と呼ぶ。
\begin{split}
f(x)\sim \int_{-\infty}^{\infty}\Big( A(s )\cos(sx)+B(s)\sin(sx) \Big)\diff s
\end{split}
ただし、$A(s),B(s)$ は以下のように表せる。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
A(s) &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos (st) \diff t \EE
B(s ) &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin (st) \diff t
\end{eqnarray}
\right.
$$
なお、記号 $\sim$ は対応関係を表す。
このフーリエ積分表示は複素関数を用いても表現でき、次のようなフーリエ複素積分表示も得られます。
$f(x)$ を区分的に連続な関数として、区間 $(-\infty,\infty)$ にて無限積分が可能であるとする。
このとき、以下で表される形式的な無限積分が成立する。これを $f(x)$ のフーリエ複素積分表示と呼ぶ。
\begin{split}
f(x)\sim \ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{is(x-t)} \diff t \right\}\diff s \\
\,
\end{split}
これを得るために、まずは非周期関数とフーリエ級数展開の計算方法の検討を行います。
非周期関数とフーリエ級数展開
フーリエ級数展開が行えるのは基本的には周期関数である場合です。しかしながら、一般の関数は周期関数とは限りません。
そこで、一般の関数を周期が無限大の周期関数と見なすことで、非周期関数に対してもフーリエ級数展開が行えるよう拡張することを考えます。
復習となりますが、周期が $2l$ の周期関数のフーリエ級数展開は以下のように表せました。
\begin{split}
f(x)=\ff{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left( a_k\cos\ff{k\pi}{l}x+b_k\sin\ff{k\pi}{l}x \right)
\end{split}
ただし、フーリエ係数 $a_0,a_k,b_k$ は次の様になります。
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
a_0 &=& \ff{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x) \diff x \EE
a_k &=& \ff{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos \ff{k\pi}{l}x \diff x \EE
b_k &=& \ff{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin \ff{k\pi}{l}x \diff x
\end{eqnarray}
\right.
$$
さて、非周期周期関数を周期が無限大の周期関数と見なす（奇妙ですが）ことで、非周期関数のフーリエ級数展開を得ることを考えます。これを実行することで、冒頭に示したフーリエ積分表示やフーリエ複素積分表示が得られます。
フーリエ積分表示とは？
まずは、フーリエ係数を変形していくことを考えます。すなわち、$s_k=\DL{\ff{k\pi}{l}}$ として、
\begin{split}
s_k-s_{k-1}&=\ff{k\pi}{l}-\ff{(k-1)\pi}{l}=\ff{\pi}{l} \EE
\therefore\, \ff{1}{l}&=\ff{1}{\pi}(s_k-s_{k-1})
\end{split}
が成立するので、上で示したフーリエ係数が
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
a_0 &=& \ff{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x) \diff x \EE
a_k &=& \ff{s_k-s_{k-1}}{\pi}\int_{-l}^{l} f(x)\cos (s_kx) \diff x \EE
b_k &=& \ff{s_k-s_{k-1}}{\pi}\int_{-l}^{l} f(x)\sin (s_kx) \diff x
\end{eqnarray}
\right.
$$
と変形できます。これを $f(x)$ のフーリエ級数展開の式に適用すると、
\begin{split}
f(x)&=\ff{1}{2l}\int_{-l}^{l} f(x) \diff x+\sum_{k=1}^{\infty}\left\{ \left( \ff{1}{\pi}\int_{-l}^{l} f(x)\cos (s_kx) \diff x \right)\cos(s_kx) \right. \EE
&\left.\quad\quad+\left( \ff{1}{\pi}\int_{-l}^{l} f(x)\sin (s_kx) \diff x \right)\sin(s_kx) \right\}(s_k-s_{k-1})
\end{split}
が得られます。
ここで簡単のため、
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
A_k(s_k ) &=& \ff{1}{\pi}\int_{-l}^{l} f(x)\cos (s_kx) \diff x \EE
B_k(s_k ) &=& \ff{1}{\pi}\int_{-l}^{l} f(x)\sin (s_kx) \diff x
\end{eqnarray}
\right.
$$
とすると上式第二項の総和の部分を
\begin{split}
\sum_{k=1}^{\infty}\Big( A_k(s_k )\cos(s_kx)+B_k(s_k )\sin(s_kx) \Big)(s_k-s_{k-1})
\end{split}
と書けます。この式が表す様子を図示すると、下のような面積を表すことに気が付きます。
図からは区分求積法と同じ様式となっていることに気が付きます。実際、周期を $l\to \infty$ に拡張すると、上式を積分で表現できて、
\begin{split}
&\lim_{l\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\Big( A_k(s_k )\cos(s_kx)+B_k(s_k )\sin(s_kx) \Big)(s_k-s_{k-1})\right) \EE
=&\int_0^{\infty}\Big( A(s )\cos(sx)+B(s)\sin(sx) \Big)\diff s
\end{split}
とできます。なお、第一項の部分 $\DL{\ff{1}{2l}\int_{-l}^{l} f(x) \diff x}$ は $l\to\infty$ のとき $0$ となります。ゆえに、これは冒頭に示したフーリエ積分表示と一致します。なお、上式の係数は、
$$
\left\{
\begin{eqnarray}
A(s) &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cos (st) \diff t \EE
B(s ) &=& \ff{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sin (st) \diff t
\end{eqnarray}
\right.
$$
と表せます。
フーリエ複素積分表示とは？
フーリエ積分表示についてもう少し考えてみます。先程求めた非周期関数（＝周期が無限大の関数）のフーリエ級数展開は以下のように書き下せました。
\begin{split}
f(x)=\ff{1}{\pi}\int_0^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\Big(\cos(st)\cos(sx)+\sin(st)\sin(sx) \Big)\diff t \right\}\diff x
\end{split}
右辺に三角関数の加法定理を適用すると、
\begin{split}
f(x)=\ff{1}{\pi}\int_0^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos s(x-t)\diff t \right\}\diff x
\end{split}
が得られます。ここから議論を進める工夫として、中括弧の中身が $x$ に関する偶関数であることに注目します。すると、積分区間を $-\infty$ まで拡張できて、
\begin{split}
f(x)=\ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos s(x-t)\diff t \right\}\diff x
\end{split}
とできます。
さらに重要な点として、$\sin s(x-t)$ が奇関数であるため、
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin s(x-t)\diff t \right\}\diff x=0
\end{split}
の積分が $0$ となると言えます。
ゆえに、技巧的でなありますが、$f(x)$ を次のような複素関数の積分として、
\begin{split}
f(x)&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos s(x-t)\diff t \right\}\diff x\EE
&\qquad+\ff{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin s(x-t)\diff t \right\}\diff s
\end{split}
と表現できます。これを整理して、さらにオイラーの公式を用いることで、
\begin{split}
f(x)&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\Big( \cos s(x-t)+i \sin s(x-t)\Big)\diff t \right\}\diff x\EE
&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{is(x-t)} \diff t \right\}\diff x
\end{split}
が得られます。この形は冒頭で示したフーリエ複素積分表示となります。また、ブロムウィッチ積分（＝ラプラス逆変換の公式）の背景にあるフーリエの積分定理と同じ形をしていることも注目ポイントとなります。
