フーリエ変換による偏微分方程式の解法の準備として、今回はフーリエ変換の微分法則と積分法則について説明します。まず、微分法則は次のように述べられます。
次に、フーリエ変換の積分法則は次のように述べられます。
$f(t)$ が連続であるとする。このとき、以下のフーリエ変換の積分法則が成立する。
\begin{split}
\F\left[ \int_{-\infty}^{t} f(u)\diff u \right]&=\ff{1}{iw}\F[f(t)]=\ff{F(w)}{iw}
\end{split}
ただし、$\F[f(t)]=F(w),$ $i$ を虚数単位とする。
微分法則とは？
冒頭で説明したように、フーリエ変換については以下に述べる微分法則が成立します。
以下に微分法則の証明を示します。
微分法則の証明
最初のステップとして、$n=1$ の場合、すなわち、
\begin{split}
\F[f'(t)]&=iwF(w)
\end{split}
の証明を行います。さて、左辺についてはフーリエ変換の定義を考えると、
\begin{split}
\F[f'(t)]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f'(t)e^{-iwt} \diff t
\end{split}
とできます。これに部分積分法を適用すると、
\begin{split}
\F[f'(t)]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\left[ f(t)e^{-iwt} \right]_{-\infty}^{\infty}+iw\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-iwt} \diff t
\end{split}
となります。今、$\DL{ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| \diff t<\infty }$ のため、$\DL{\lim_{t\to\pm \infty} f(t)=0}$ であり、また $|e^{-iwt}|=1$ と言えます。ゆえに、右辺第一項は $0$ となります。よって、
\begin{split}
\F[f'(t)]&=iw\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-iwt} \diff t \EE
&=iw\F[f(t)]=iwF(w)
\end{split}
となって、$n=1$ での微分法則が証明できました。次に $n=k$ として、
\begin{split}
\F[f^{(k)}(t)]&=(iw)^kF(w)
\end{split}
が成立すると仮定します。ここで、$f^{(k)}(t)=g(t),(iw)^kF(w)=G(w)$ と置くと、先程の結果より、
\begin{split}
\F[g'(t)]&=iwG(w)
\end{split}
と言えます。これより、
\begin{split}
\F[f^{(k+1)}(t)]&=(iw)^{k+1}F(w)
\end{split}
と、$n=k+1$ でも微分法則が成立することが示せました、以上、数学的帰納法より全ての自然数 $n$ に対して微分法則が成立することが示されました。
さらに、$\DL{\ff{\diff}{\diff w}F(w)=-i\F[tf(t)]}$ の証明を行います。まず、フーリエ変換の定義に従って
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff w}F(w)&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{\diff}{\diff w}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-iwt} \diff t
\end{split}
と書けて、微分と積分の順序を入れ替えて計算を行うと、
\begin{split}
\ff{\diff}{\diff w}F(w)&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\cdot (-ite^{-iwt}) \diff t \EE
&=-\ff{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Big( tf(t) \Big)e^{-iwt}\diff t \EE
&=-i\F[tf(t)]
\end{split}
となって題意が示されました。この結果は、ラプラス変換での $t$ 積法則と同様の形であることも分かります。
積分法則とは？
冒頭で説明したように、フーリエ変換については以下に述べる積分法則が成立します。
$f(t)$ が連続であるとする。このとき、以下のフーリエ変換の積分法則が成立する。
\begin{split}
\F\left[ \int_{-\infty}^{t} f(u)\diff u \right]&=\ff{1}{iw}\F[f(t)]=\ff{F(w)}{iw}
\end{split}
ただし、$\F[f(t)]=F(w),$ $i$ を虚数単位とする。
以下に積分法則の証明を示します。
積分法則の証明
最初に $\DL{\int_{-\infty}^{t} f(u)\diff u=g(t)}$ とします。このとき、
\begin{split}
f(t)=\ff{\diff}{\diff t}g(t)
\end{split}
が成り立ちます。また、$\F[g(t)]=G(w)$ であるとします。
このとき、$F(w)=\F[f(t)]$ であることを考慮すると、以下が成立します。
\begin{split}
F(w)&=\F[f(t)]=\F\left[ \ff{\diff}{\diff t}g(t) \right]
\end{split}
これに前述の微分法則を適用すると、
\begin{split}
\F\left[ \ff{\diff}{\diff t}g(t) \right]
&=iw\F[g(t)] \EE
&=iw\F\left[ \int_{-\infty}^{t} f(u)\diff u \right]
\end{split}
が導けます。以上をまとめると、
\begin{split}
iw\F\left[ \int_{-\infty}^{t} f(u)\diff u \right]&=F(w) \EE
\therefore\,\F\left[ \int_{-\infty}^{t} f(u)\diff u \right]&=\ff{F(w)}{iw}
\end{split}
となります。以上より、積分法則の証明ができました。
