今回は畳み込み積分のフーリエ変換について説明します。早速ですが、畳み込み積分のフーリエ変換は以下のような性質を持ちます。
畳み込み積分のフーリエ変換
冒頭でも示しましたが、畳み込み積分のフーリエ変換の結果は以下のようになります。
以下で畳み込み積分のフーリエ変換の証明を示します。
【合成積のラプラス変換の証明】
$f(t),g(t)$ を $(-\infty,\infty)$ で定義された関数として、各関数のフーリエ変換を $\F[f(t)],\F[g(t)]$ とします。
このとき、$\F[(f\ast g)(t)]$ のフーリエ変換は、その定義より以下のように計算できます。
\begin{split}
\F[(f\ast g)(t)]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(f\ast g)(t)e^{-iwt}\diff t
\end{split}
さらに、畳み込み積分の定義から上式は、
\begin{split}
\F[(f\ast g)(t)]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(t-u)\diff u \right)e^{-iwt}\diff t \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(t-u)e^{-iwt}\diff u \right)\diff t
\end{split}
とできて、積分の順序を入れ替えて
\begin{split}
\F[(f\ast g)(t)]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(t-u)e^{-iwt}\diff t \right)\diff u
\end{split}
ここで、$v=t-u$ と置換すると $t=u+v,\diff v=\diff t$ となるため、
\begin{split}
\F[(f\ast g)(t)]&= \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}f(u)g(v)e^{-iw(u+v)}\diff u \right)\diff v \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-iwu}\diff u \right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}g(v)e^{-iwv}\diff v \right)
\end{split}
係数を調整して、さらに積分変数を形式的に $t$ へ変更すると、
\begin{split}
\F[(f\ast g)(t)]&=\sqrt{2\pi}\left(\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}\diff t \right)\left(\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-iwt}\diff t \right) \EE
&=\sqrt{2\pi}\,\F[f(t)]\F[g(t)] \EE
&=\sqrt{2\pi} F(w)G(w)
\end{split}
が得られます。以上より、畳み込み積分のフーリエ変換を証明できました。
次回以降は、フーリエ変換の性質を用いて具体的な関数についてのフーリエ変換を求めていきます。
