今回は指数関数と三角関数のフーリエ変換の導出過程について説明します。まず、指数関数のフーリエ変換の結果は次の様になります。
指数関数のフーリエ変換の導出
始めに、指数関数 $e^{-a|t|}$ のフーリエ変換を行います。これは、フーリエ変換の定義より以下の様に計算できます。
\begin{split}
\F[e^{-a|t|}]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-iwt}\diff t \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0e^{at}e^{-iwt}\diff t+\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-iwt}\diff t \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\left[ \ff{1}{a-iw}e^{(a-iw)t} \right]_{-\infty}^0+\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\left[ \ff{1}{-a-iw}e^{(-a-iw)t} \right]_0^{\infty} \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\ff{1}{a-iw}+\ff{1}{a+iw} \right) \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{2a}{a^2+w^2}
\end{split}
複素指数関数のフーリエ変換の導出
次に指数を複素数とした、複素指数関数のフーリエ変換について考えてみましょう。ここでは、$a$ を実数、$i$ を虚数単位として、$e^{iat}$ のフーリエ変換について考えます。
このときのフーリエ変換は以下のようにできますが、
\begin{eqnarray}
\F[e^{iat}]&=F(w)=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iat}e^{-iwt}\diff t \tag{1}
\end{eqnarray}
上の複素線積分の積分区間が $-\infty \to \infty$ の関係で、簡単には積分が実行できそうにありません。そこで技巧的にはなりますが、デルタ関数のフーリエ変換の結果を利用することを考えます。
定数関数のフーリエ変換の導出
さて、デルタ関数のフーリエ変換は以下のようになり、
\begin{split}
\F[\delta(t)]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-iwt}\diff t=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{split}
この $\F[\delta(t)]$ にフーリエの反転公式を適用すると
\begin{split}
\delta(t)&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\F[\delta(t)]e^{iwt}\diff w \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{1}{\sqrt{2\pi}}e^{iwt}\diff w \EE
&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwt}\diff w
\end{split}
という関係が得られます。この結果に対して形式的に、$t=w,w=-t$ という変換を施すと
\begin{split}
\delta(w)&=\ff{1}{2\pi}\int_{\infty}^{-\infty}\ff{-1}{\sqrt{2\pi}}e^{-iwt}\diff t
\end{split}
さらに積分区間をひっくり返すことで、
\begin{split}
\delta(w)&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-iwt}\diff t
\end{split}
が得られます。この結果より、定数 $\DL{\ff{1}{\sqrt{2\pi}}}$ をフーリエ変換するとデルタ関数になるということが言えます。
この結果を踏まえると、式 $(1)$ で表される複素指数関数のフーリエ変換を、次の様な定数に対するフーリエ変換と見なせます。
\begin{split}
\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iat}e^{-iwt}\diff t&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(1\cdot e^{iat})e^{-iwt}\diff t \EE
&=\sqrt{2\pi}\left( \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{e^{iat}}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-iwt}\diff t \right)
\end{split}
上式の括弧内のフーリエ変換については、フーリエ変換の移動法則から
\begin{split}
\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{e^{iat}}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-iwt}\diff t =\delta(w-a)
\end{split}
と言えます。以上の結果をまとめると
\begin{split}
\F[e^{iat}]&=\sqrt{2\pi}\cdot \delta(w-a)
\end{split}
が導けます。この結果は次節の三角関数のフーリエ変換を求める際に利用します。
三角関数のフーリエ変換の導出
それでは、三角関数のフーリエ変換を考えていきます。この計算では複素三角関数と複素指数関数の関係がポイントとなります。始めに、三角関数と複素指数関数の間には、以下のような関係がありました。
$$
\left\{
\begin{split}
\,&\cos z=\ff{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \\[6pt]
\,&\sin z=\ff{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\end{split}
\right.
$$
これを用いると $\cos at,\sin at$ を、
$$
\left\{
\begin{split}
\,&\cos at=\ff{e^{iat}+e^{-iat}}{2} \\[6pt]
\,&\sin at=\ff{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}
\end{split}
\right.
$$
とできます。この結果に留意してまずは、$\cos at$ のフーリエ変換を求めてみましょう。具体t的には以下のようにできて、
\begin{split}
\F[\cos at]=\F\left[\ff{e^{iat}+e^{-iat}}{2}\right]
\end{split}
右辺についてフーリエ変換の線形法則を適用すると以下の様にできて、
\begin{split}
\F\left[\ff{e^{iat}+e^{-iat}}{2}\right]=\ff{1}{2}\Big(\F[e^{iat}]+\F[e^{-iat}] \Big)
\end{split}
これは、前述の複素指数関数のフーリエ変換の結果を用いて次の様に求められます。
\begin{split}
\ff{1}{2}\left(\F[e^{iat}]+\F[e^{-iat}] \right)&=\sqrt{\ff{\pi}{2}}\Big(\delta(w-a)+\delta(w+a) \Big)\EE
\therefore\,\F[\cos at]&=\sqrt{\ff{\pi}{2}}\Big(\delta(w-a)+\delta(w+a) \Big)
\end{split}
次に、$\sin at$ のフーリエ変換を求めてみましょう。具体t的には以下のようになります。
\begin{split}
\F[\sin at]=\F\left[\ff{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\right]
\end{split}
右辺の計算についてはフーリエ変換の線形法則より以下の様にできて、
\begin{split}
\F\left[\ff{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\right]=\ff{1}{2i}\Big(\F[e^{iat}]-\F[e^{-iat}] \Big)
\end{split}
これは、前述の複素指数関数のフーリエ変換の結果を用いて次の様に求められます。
\begin{split}
\ff{1}{2i}\left(\F[e^{iat}]-\F[e^{-iat}] \right)&=-\ff{i}{2}\Big(\delta(w-a)-\delta(w+a) \Big)\EE
\therefore\,\F[\sin at]&=-\sqrt{\ff{\pi}{2}}i\Big(\delta(w-a)-\delta(w+a) \Big)
\end{split}
以上より、三角関数のフーリエ変換が得られました。
