今回は累乗のフーリエ変換を導きます。
今回はこれの導出過程について説明します。まずは、一次関数 $f(t)=t$ のフーリエ変換の導出過程について説明します。
一次関数のフーリエ変換の導出
まずは、一次関数 $f(t)=t$ のフーリエ変換 $\F[t]$ を導きます。わざとらしくなりますが、これを次のようにしてみます。
\begin{split}
\F[t]&=\F[t\cdot 1] \EE
&=\sqrt{2\pi}\F\left[t\cdot \ff{1}{\sqrt{2\pi}} \right]
\end{split}
そして、上式にフーリエ変換の微分法則 $\DL{\left(\F[tf(t)]=i\ff{\diff}{\diff w}F(w)\right)}$ を適用することで、次の様にできます。
\begin{split}
\sqrt{2\pi}\F\left[t\cdot \ff{1}{\sqrt{2\pi}} \right]=i\sqrt{2\pi}\ff{\diff }{\diff w}\F\left[\ff{1}{\sqrt{2\pi}} \right]
\end{split}
今、$\DL{\F\left[\ff{1}{\sqrt{2\pi}} \right]=\delta(w)}$ となるので、（→定数関数のフーリエ変換）
\begin{split}
i\sqrt{2\pi}\ff{\diff }{\diff w}\F\left[\ff{1}{\sqrt{2\pi}} \right]=i\sqrt{2\pi}\ff{\diff }{\diff w}\delta(w)=i\sqrt{2\pi}\cdot\delta'(w)
\end{split}
が得られます。
累乗のフーリエ変換の導出
次に今回の本題である、一般の累乗の関数 $f(t)=t^n$ のフーリエ変換の導出方法について説明します。
傾向を知るため、手始めに $t^2$ と $t^3$ のフーリエ変換を考えてみます。まず、$t^2$ のフーリエ変換については、
\begin{split}
\F[t^2]&=\F[t\cdot t]
\end{split}
とできることに注目します。これにフーリエ変換の微分法則を用いることで、
\begin{split}
\F\left[t\cdot t \right]&=i\ff{\diff }{\diff w}\F\left[t \right] \EE
&=i\ff{\diff }{\diff w}\Big(i\sqrt{2\pi}\cdot\delta'(w) \Big) \EE
&=-\sqrt{2\pi}\cdot\delta^{(2)}(w)
\end{split}
とできます。次に、$t^3$ のフーリエ変換についても同様にして、
\begin{split}
\F[t^3]&=\F[t\cdot t^2] \EE
&=i\ff{\diff }{\diff w}\F\left[t^2 \right] \EE
&=i\ff{\diff }{\diff w}\Big( -\sqrt{2\pi}\cdot\delta^{(2)}(w) \Big) \EE
&=-\sqrt{2\pi}i\cdot\delta^{(3)}(w)
\end{split}
となります。この計算を次々と適用することで、一般の累乗 $t^n$ のフーリエ変換が以下のようになることが分かります。
\begin{split}
\F[t^n]&=\sqrt{2\pi}\,i^n\cdot \delta^{(n)}(w)
\end{split}
以上にして、冒頭の累乗の関数 $f(t)=t^n$ のフーリエ変換が導けました。
