今回は矩形関数と $\RM{sinc}$ 関数のフーリエ変換を導きます。
矩形関数 $\RM{rect}(t)$ のフーリエ変換は次の様に表せる。
\begin{split}
\F[\RM{rect}(t)] &= \sqrt{\ff{2}{\pi}}\cdot\ff{\sin \left(\ff{w}{2}\right)}{\ff{w}{2}}=\sqrt{\ff{2}{\pi}}\RM{sinc}\left(\ff{w}{2}\right) \\
\,
\end{split}
$\RM{sinc}$ 関数のフーリエ変換は次の様に表せる。
\begin{split}
\F\left[\RM{sinc}\left(\ff{t}{2}\right)\right] &= \sqrt{\ff{\pi}{2}}\RM{rect}(w)
\end{split}
ただし、$\DL{\RM{sinc}(x)=\ff{\sin x}{x}}$ とする。
今回はこれの導出過程について説明します。まずは、矩形関数 $\RM{rect}(t)$ のフーリエ変換の導出過程について説明します。
矩形関数のフーリエ変換の導出
下図のように、長方形型の形状をした関数のことを矩形関数と呼び、$\RM{rect}(x)$ などと表記します。
矩形関数は次の様に表せます。
$$
\RM{rect}(t)=
\left\{
\begin{split}
&1\quad\left(|t|\leq \ff{1}{2}\right) \EE
&0\quad\left(|t|> \ff{1}{2}\right)
\end{split}
\right.
$$
早速、矩形関数をフーリエ変換してみましょう。これは、フーリエ変換の定義式より次の様に計算できます。
\begin{split}
\F[\RM{rect}(t)] &= \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\RM{rect}(t)e^{-iwt} \diff t \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\ff{1}{2}}^{\ff{1}{2}}e^{-iwt} \diff t \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\left[ -\ff{1}{iw}e^{-iwt} \right]_{-\ff{1}{2}}^{\ff{1}{2}} \EE
&=\ff{i}{\sqrt{2\pi}w}\cdot(e^{-\ff{iw}{2}}-e^{\ff{iw}{2}})
\end{split}
上式にオイラーの公式を適用すると、
\begin{split}
\ff{i}{\sqrt{2\pi}w}\cdot(e^{-\ff{iw}{2}}-e^{\ff{iw}{2}}) &=\ff{i}{\sqrt{2\pi}w}\left\{\left(\cos \ff{w}{2}-i\sin \ff{w}{2}\right)-\left(\cos \ff{w}{2}+i\sin \ff{w}{2}\right) \right\} \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\ff{\sin \left(\ff{w}{2}\right)}{w} \EE
&=\sqrt{\ff{2}{\pi}}\cdot\ff{\sin \left(\ff{w}{2}\right)}{\ff{w}{2}}
\end{split}
が得られます。以上をまとめると、
\begin{split}
\F[\RM{rect}(t)] &= \sqrt{\ff{2}{\pi}}\cdot\ff{\sin \left(\ff{w}{2}\right)}{\ff{w}{2}}=\sqrt{\ff{2}{\pi}}\RM{sinc}\left(\ff{w}{2}\right)
\end{split}
となり矩形関数のフーリエ変換が得られました。なお、$\DL{\ff{\sin x}{x}}$ のことを $\RM{sinc}(x)$ とも表記します。
$\RM{sinc}$ 関数のフーリエ変換の導出
上で見たように、矩形関数と $\RM{sinc}$ 関数の間には以下のような関係が成立しました。
\begin{split}
\F[\RM{rect}(t)] &= F(w)=\sqrt{\ff{2}{\pi}}\RM{sinc}\left(\ff{w}{2}\right)
\end{split}
ここで、矩形関数に対してフーリエの反転公式を考えてみると次の様になります。
\begin{split}
\RM{rect}(t)&= \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwt} \diff w \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{ \sqrt{\ff{2}{\pi}}\RM{sinc}\left(\ff{w}{2}\right) \right\}e^{iwt} \diff w \EE
\sqrt{\ff{\pi}{2}}\RM{rect}(t)&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\RM{sinc}\left(\ff{w}{2}\right) e^{iwt} \diff w
\end{split}
この結果に対して形式的に、$t=w,w=-t$ という変換を施すと
\begin{split}
\sqrt{\ff{\pi}{2}}\RM{rect}(w)&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\infty}^{-\infty}\RM{sinc}\left(\ff{t}{2}\right) e^{-iwt} \diff (-t) \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\RM{sinc}\left(\ff{t}{2}\right) e^{-iwt} \diff t \EE
\end{split}
となって、この式は $\DL{\RM{sinc}\left(\ff{t}{2}\right)}$ のフーリエ変換となるので、
\begin{split}
\F\left[\RM{sinc}\left(\ff{t}{2}\right)\right] &= \sqrt{\ff{\pi}{2}}\RM{rect}(w)
\end{split}
であることが言えます。
