これを求める準備として、まずはベッセル関数を複素関数を用いて表すことを考えます。
複素関数によるベッセル関数の表記
初めに、ベッセル関数を複素関数により表現することを考えます。
前提として、$k$ 次のベッセル関数は次の様に定義されました。
\begin{eqnarray}
J_k(x) &=& \ff{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos (k\theta-x \sin \theta) \diff \theta
\end{eqnarray}
ところで、被積分関数の余弦関数に注目してみましょう。これは、複素三角関数の表現を用いることで次の様に表現できます。
\begin{split}
\cos (k\q-x \sin \q) &= \ff{1}{2}\left(e^{i(k\q-x \sin \q)}+e^{-i(k\q-x \sin \q)} \right)
\end{split}
ゆえに、ベッセル関数はこのようにも記述できると言えます。
\begin{eqnarray}
J_k(x) &=& \ff{1}{2\pi} \int_0^{\pi} \left(e^{i(k\q-x \sin \q)}+e^{-i(k\q-x \sin \q)} \right) \diff \theta
\end{eqnarray}
ここでいささか唐突ですが、次の積分について考えてみます。
\begin{split}
f(x)=\ff{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k\q-x \sin \q)}\diff\q
\end{split}
これを次の様に変形していきます。
\begin{split}
f(x)&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}e^{i(k\q-x \sin \q)}\diff\q +\ff{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}e^{i(k\q-x \sin \q)}\diff\q \EE
&=\ff{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-i(k\q-x \sin \q)}\diff\q+\ff{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}e^{i(k\q-x \sin \q)}\diff\q \EE
&=\ff{1}{2\pi} \int_0^{\pi} \left(e^{i(k\q-x \sin \q)}+e^{-i(k\q-x \sin \q)} \right) \diff \q \EE
&=J_k(x)
\end{split}
この結果から分かるように $f(x)$ は $J_k(x)$ と一致します。ゆえに、ベッセル関数は複素関数を用いて、
\begin{split}
J_k(x) &= \ff{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos (k\theta-x \sin \theta) \diff \theta \EE
&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k\q-x \sin \q)}\diff\q
\end{split}
とできることが分かります。
関数を引数に持つ場合のデルタ関数の性質
もう一つの準備として、$f(x)$ のような関数を引数に持つデルタ関数 $\delta(f(x))$ の性質について考えます。これを考えるに当たり、以下の式が成立することを用います。
\begin{split}
f(a)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-a)\,\diff t
\end{split}
これを考慮すると、
\begin{split}
\delta(f(x))=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(f(t))\delta(t-x)\,\diff t
\end{split}
が言えます。さて、上の積分を具体的に計算するためには $f(t)=0$ となる $t_i$（＝零点）を知ることが必要になります。そこで、$f(t)=0$ を満たす零点が $n$ 個あるとして、これらを $t_1,\cdots,t_n$ と置くことにします。なお、重解は無いとします。
今、零点でない限り $\delta (f(t))$ は $0$ となるので、積分範囲を零点近傍に限定しても計算結果が変わらないと言えます。したがって、以下のようが変形ができます。（ただし、$\eps_i$ は正の微小な数）
\begin{split}
\int_{-\infty}^{\infty}\delta(f(t))\delta(t-x)\,\diff t=\sum_{i=1}^n\int_{t_i-\eps_i}^{t_i+\eps_i}\delta(f(t))\delta(t-x)\,\diff t
\end{split}
上の積分を計算するため技巧的にはなりますが、$f(t)=u$ という置換を実行します。このとき、
\begin{split}
\ff{\diff f}{\diff t}&=\ff{\diff u}{\diff t} \EE
\therefore\,\diff t&=\ff{\diff u}{\left(\ff{\diff f}{\diff t} \right)}
\end{split}
のため、
\begin{split}
\sum_{i=1}^n\int_{t_i-\eps_i}^{t_i+\eps_i}\delta(f(t))\delta(t-x)\,\diff t=\sum_{i=1}^n\int_{u(t_i-\eps_i)}^{u(t_i+\eps_i)}\ff{\delta(u)}{\left(\ff{\diff f}{\diff t} \right)}\delta(u^{-1}-x)\diff u
\end{split}
と置換ができます。$f(t_i)=u=0$ であることを意識すると、この積分結果が次の様に求められます。
\begin{split}
\int_{u(t_i-\eps_i)}^{u(t_i+\eps_i)}\ff{\delta(u)}{\left(\ff{\diff f}{\diff t} \right)}\delta(u^{-1}-x)\diff u=\ff{\delta (t_i-x)}{|f'(t_i)|}
\end{split}
したがって、
\begin{split}
\delta(f(x))=\sum_{i=1}^n\ff{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}
\end{split}
が導かれます。（ただし、$f(x_i)=0$ を満たす。）
ベッセル関数のフーリエ変換の導出
それでは今回の本題である、ベッセル関数のフーリエ変換を導いていきます。始めに、フーリエ変換の定義式より
\begin{split}
\F[J_k(t)]=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}J_k(t)\cdot e^{-iwt}\diff t
\end{split}
となって、これに先程導いたベッセル関数の複素関数表示を適用すると、
\begin{split}
\F[J_k(t)]=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \ff{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k\q-t \sin \q)}\diff\q \right) e^{-iwt}\diff t
\end{split}
が言えます。上式を変形して
\begin{split}
\F[J_k(t)]=\ff{1}{(2\pi)^{\ff{3}{2}}}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-it\sin\q }e^{-iwt}\diff t \right) e^{ik\q}\diff \q
\end{split}
括弧の中に対して指数関数のフーリエ変換の結果を適用すると、
\begin{split}
\F[J_k(t)]&=\ff{1}{(2\pi)^{\ff{3}{2}}}\int_{-\pi}^{\pi}\sqrt{2\pi}\cdot \delta\left(w+\sin\q \right) e^{ik\q}\diff \q \EE
&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\delta (w+\sin\q )\cdot e^{ik\q}\diff \q
\end{split}
とできます。式中に現れるデルタ関数については、先程示した合成関数のデルタ関数の性質を用いることで、
\begin{split}
\delta (w+\sin\q )=\sum_{i}\ff{\delta(\q-\q_i)}{|\cos \q_i|}
\end{split}
と表現できるので式を
\begin{split}
\F[J_k(t)]&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{i}\ff{\delta(\q-\q_i)}{|\cos \q_i|}\cdot e^{ik\q}\diff \q
\end{split}
とできます。ただし、$\q_i$ は $w=\sin\q_i$ を満たす実数とします。また、$|\cos \q_i|=\DL{\sqrt{1-w^2}}$ と言えます。このように置くと $w$ が動く範囲によって、計算を下の様に分類できることが分かります。
$$
\F[J_k(t)]=
\left\{
\begin{split}
& \ff{1}{2\pi}\sum_{i=1}^2\int_{-\pi}^{\pi}\ff{\delta(\q-\q_i)}{\sqrt{1-w^2}}\cdot e^{ik\q}\diff \q\quad(|w|<1)\EE
&\,0\quad(|w|\ge 1)
\end{split}
\right.
$$
意味のある数値を導くために、$|w|<1$ の範囲に注目してみます。これを計算してみると以下のようになります。
\begin{split}
&\ff{1}{2\pi}\sum_{i=1}^2\int_{-\pi}^{\pi}\ff{\delta(\q-\q_i)}{\sqrt{1-w^2}}\cdot e^{ik\q}\diff \q\EE
=&\ff{1}{2\pi}\cdot \ff{1}{\sqrt{1-w^2}}\Big( e^{ik\q_1}+e^{ik\q_2} \Big)
\end{split}
今、$\q_2=\pi-\q_1$ であるので、
\begin{split}
& e^{ik\q_1}+e^{ik\q_2} \EE
=&e^{ik\q_1}+e^{ik(\pi-\q_1)} \EE
=&e^{i\ff{k\pi}{2}}\left( e^{ik(\q_1-\ff{\pi}{2})}+e^{-ik(\q_1-\ff{\pi}{2})} \right) \EE
=&i^{k}\cdot 2\cos k\left(\q_1-\ff{\pi}{2}\right)
\end{split}
となることが言えます。以上より、$|w|<1$ でのベッセル関数のフーリエ変換を
\begin{split}
\F[J_k(t)]&=\ff{i^{k}}{\pi\sqrt{1-w^2}}\cdot\cos k\left(\q_1-\ff{\pi}{2}\right)
\end{split}
と記述できます。さらに、$|w|\ge 1$ の範囲では $0$ であることも含めて表現するとき、矩形関数を利用すると便利です。すると、以下のように統一的に表現ができます。
\begin{split}
\F[J_k(t)]&=\ff{i^{k}\cos k\left(\q_1-\ff{\pi}{2}\right)}{\pi\sqrt{1-w^2}}\cdot\RM{rect}\left( \ff{w}{2} \right)
\end{split}
ただし、$\q_1=\arcsin w$ とする。
