今回は、偏微分方程式を解く際に力を発揮するフーリエ逆変換の定義とその具体例について説明します。
$f(t)$ を $(-\infty, \infty)$ で定義された関数、$F(w)$ を $f(t)$ のフーリエ変換とする。
このとき、以下の操作
\begin{eqnarray}
\F^{-1}[F(w)] = f(t) = \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwt} \diff w
\end{eqnarray}
を $F(w)$ のフーリエ逆変換と呼び、$\F^{-1}[F(w)]$ と書く。
なお、フーリエ変換と似た操作であるラプラス変換についてはこちらで説明を行っています。
フーリエ逆変換とは？
早速ですが、以下のように定義される操作のことをフーリエ逆変換と呼びます。（※ $\F$ は$F$ の筆記体です）
$f(t)$ を $(-\infty, \infty)$ で定義された関数、$F(w)$ を $f(t)$ のフーリエ変換とする。
このとき、以下の操作
\begin{eqnarray}
\F^{-1}[F(w)] = \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwt} \diff w
\end{eqnarray}
を $F(w)$ のフーリエ逆変換と呼び、$\F^{-1}[F(w)]$ と書く。書く。
定義から見て分かる通り、フーリエ逆変換の式は、以下に示すフーリエの反転公式と同じ形をしています。（ただし、$F(w)$ は $f(t)$ のフーリエ変換とします。）
\begin{eqnarray}
f(t) = \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwt} \diff w
\end{eqnarray}
このことより、フーリエ逆変換を実行するとフーリエ変換前の関数に戻ることが言えます。これを明示的に表現すると、
\begin{eqnarray}
\F^{-1}\Big[\F[f(t)]\Big]=f(t)
\end{eqnarray}
とできます。
フーリエ逆変換の例題
フーリエ逆変換の具体例をいくつかの例題を通して見ていきます。
例題１（定数関数のフーリエ逆変換）：$\DL{\ff{1}{\sqrt{2\pi}}}$ のフーリエ逆変換
定義より与式の逆フーリエ変換を下のように記述できます。
\begin{split}
\F^{-1}\left[ \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\right]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{1}{\sqrt{2\pi}}e^{iwt} \diff w \EE
&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwt} \diff w
\end{split}
ところで、デルタ関数のフーリエ変換については以下のような関係があるので、
\begin{split}
\ff{1}{\sqrt{2\pi}}=\F[\delta(t)]
\end{split}
与式のフーリエ逆変換は
\begin{split}
\F^{-1}\left[ \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\right]&=\F^{-1}\left[\F[\delta(t)]\right]
\end{split}
とも書けます。前述のように、$\F^{-1}[\F[f(t)]]=f(t)$ が成り立つので、
\begin{split}
\F^{-1}\left[\F[\delta(t)]\right]=\delta(t)
\end{split}
が言えます。ゆえに、
\begin{split}
\F^{-1}\left[ \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\right]&=\ff{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwt} \diff w=\delta(t)
\end{split}
が導けます。
例題２（ステップ関数のフーリエ逆変換）：$\DL{\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{e^{-iaw}}{iw}}$ のフーリエ逆変換
定義より与式の逆フーリエ変換を下のように記述できます。
\begin{split}
\F^{-1}\left[ \ff{e^{-iaw}}{iw}\right]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{e^{-iaw}}{iw}e^{iwt} \diff w \EE
&=\ff{1}{i\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{e^{-i(a-t)w}}{w} \diff w \EE
\end{split}
ところで、ステップ関数のフーリエ変換については以下のような関係があるので、
\begin{split}
\F[u(t-a)]=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{e^{-iaw}}{iw}
\end{split}
与式のフーリエ逆変換を
\begin{split}
\F^{-1}\left[ \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{e^{-iaw}}{iw}\right]&=\F^{-1}\left[\F[u(t-a)]\right]
\end{split}
とも書けます。前述のように、$\F^{-1}[\F[f(t)]]=f(t)$ が成り立つので、
\begin{split}
\F^{-1}\left[\F[u(t-a)]\right]=u(t-a)
\end{split}
が言えます。ゆえに、
\begin{split}
\F^{-1}\left[ \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{e^{-iaw}}{iw}\right]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{e^{-iaw}}{iw}e^{iwt} \diff w =u(t-a)
\end{split}
が導けます。
