代表的な関数のフーリエ変換・フーリエ逆変換の結果を下表に示します。
【フーリエ変換・フーリエ逆変換表】
| $f(t)=\F^{-1}\Big[F(w)\Big]$ | $F(w)=\F\Big[f(t)\Big]$ | 関連項目 | |
| 定数関数 | $1$ | $\sqrt{2\pi}\,\delta(w)$ (※$\delta(x)$ はデルタ関数) | 定数関数の フーリエ変換 |
| 定数関数 | $a$ ($a$ は実数) | $\sqrt{2\pi}a\cdot \delta(w)$ | 定数関数の フーリエ変換 |
| 一次関数 | $t$ | $\DL{i\sqrt{2\pi}\cdot\delta'(w)}$ | 一次関数の フーリエ変換 |
| 累乗 | $t^{n}$ | $\DL{i^n\sqrt{2\pi}\cdot \delta^{(n)}(w)}$ | 累乗の フーリエ変換 |
| 余弦関数 | $\cos t$ | $\DL{\sqrt{\ff{\pi}{2}}\Big(\delta(w-a)+\delta(w+a) \Big)}$ | 三角関数の フーリエ変換 |
| 正弦関数 | $\sin t$ | $\DL{-i\sqrt{\ff{\pi}{2}}\Big(\delta(w-a)-\delta(w+a) \Big)}$ | 三角関数の フーリエ変換 |
| ステップ関数 | $u(t)$ | $\DL{\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{1}{iw}}$ | ステップ関数の フーリエ変換 |
| デルタ関数 | $\delta(t)$ | $\DL{\ff{1}{\sqrt{2\pi}}}$ | デルタ関数の フーリエ変換 |
| 指数関数 | $e^{-a|t|}$ ($a$ は実数) | $\DL{\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\ff{2a}{a^2+w^2}}$ | 指数関数の フーリエ変換 |
| ガウス分布 | $e^{-at^2}$ | $\DL{\ff{1}{\sqrt{2 a}}e^{-\ff{w^2}{4a}}}$ | ガウス分布の フーリエ変換 |
| 矩形関数 | $\RM{rect}(t)$ | $\DL{\sqrt{\ff{2}{\pi}}\cdot\ff{\sin \left(\ff{w}{2}\right)}{\ff{w}{2}}}$ | 矩形関数の フーリエ変換 |
| $\RM{sinc}$関数 | $\DL{\RM{sinc}\left(\ff{t}{2}\right)}$ | $\DL{\sqrt{\ff{\pi}{2}}\cdot\RM{rect}(w)}$ | $\RM{sinc}$関数の フーリエ変換 |
| ベッセル関数 | $J_k(t)$ | $\DL{\ff{i^{k}\cos k\left(\q_1-\ff{\pi}{2}\right)}{\pi\sqrt{1-w^2}}\cdot\RM{rect}\left( \ff{w}{2} \right)}$ (※$\q_1=\arcsin w$) | ベッセル関数の フーリエ変換 |
| 三角関数との積 | $f(t)\cos (at)$ | $\DL{\ff{1}{2}\Big(F(w-a)+F(w+a) \Big)}$ | 三角関数と フーリエ変換 |
| 三角関数との積 | $f(t)\sin (at)$ | $\DL{-\ff{i}{2}\Big(F(w-a)-F(w+a)\Big)}$ | 三角関数と フーリエ変換 |
| 関数同士の和 | $\DL{\ff{1}{2}\Big(f(t-a)+f(t+a) \Big)}$ | $\DL{ F(w)\cos (aw)}$ | |
| 関数同士の差 | $\DL{-\ff{i}{2}\Big(f(t-a)-f(t+a) \Big)}$ | $\DL{ F(w)\sin (aw)}$ |
次に、フーリエ変換の重要な諸性質を下表に示します。
【フーリエ変換の緒性質】
| $1$ | 線形法則 | $\F[\A f(t)+\beta g(t)]=\A F(w)+\beta G(w)$ | $\F[f(t)]=F(w),$ $\F[g(t)]=G(w)$ |
| $2$ | 対称法則 | $\DL{\F[F(t)]=f(-w)}$ | $\DL{\F[f(t)]=F(w)}$ |
| $3$ | 相似法則 | $\DL{\F[f(at)]=\ff{1}{|a|}F\left( \ff{w}{a} \right)}$ | |
| $4$ | 移動法則 | \begin{split} &(1)\quad \F[f(t+a)]=e^{iaw}F(w)\EE &(2)\quad \F[e^{iat}f(t)]=F(w-a) \end{split} | |
| $5$ | 微分法則 | $\DL{\F[f^{(n)}(t)]=(iw)^nF(w)}$ | |
| $6$ | 積分法則 | $\DL{\F\left[ \int_{-\infty}^{t} f(u)\diff u \right]=\ff{1}{iw}\F[f(t)]=\ff{F(w)}{iw}}$ | |
| $7$ | 畳み込み積分 | $\DL{\F[(f\ast g)(t)]=\sqrt{2\pi}\,\F[f(t)]\cdot\F[g(t)]}$ |
