微分方程式を解くためにフーリエ変換やフーリエ逆変換を実行する際、関数に三角関数が含まれることがしばしばあります。
今回は、三角関数を含む関数のフーリエ変換やフーリエ逆変換の性質について説明します。
まずは、三角関数とフーリエ変換の関係について見ていきます。
三角関数とフーリエ変換の関係
まず、ある関数 $f(t)$ のフーリエ変換については定義より以下のようにできます。
\begin{eqnarray}
\F[f(t)] = F(w) = \ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt} \diff t
\end{eqnarray}
ここで、$f(t)\cos (at)$ のフーリエ変換について考えてみます。今、$\cos (at)$ について複素三角関数を用いることで、
\begin{split}
f(t)\cos (at)=\ff{1}{2}f(t)\Big(e^{iat}+e^{-iat} \Big)
\end{split}
と変形できるため、フーリエ変換が以下のようできます。
\begin{split}
\F[f(t)\cos (at)]=\ff{1}{2}\F[f(t)e^{iat}]+\ff{1}{2}\F[f(t)e^{-iat}]
\end{split}
右辺第一項について具体的な計算を行うと、
\begin{split}
\F[f(t)e^{iat}]&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{iat}\cdot e^{-iwt} \diff t \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i(t-a)w} \diff t
\end{split}
となって、ここで、$t-a=u$ として置換を実行すると、
\begin{split}
\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i(t-a)w} \diff t=\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(u+a)e^{-iuw}\diff u
\end{split}
が得られます。$u$ を $t$ と形式的に取り換えると、
\begin{split}
\ff{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t+a)e^{-itw}\diff t=\F[f(t+a)]=F(w+a)
\end{split}
が導けます。 第二項に対しても同じことを実行すると、
\begin{split}
\F[f(t)e^{-iat}]=F(w-a)
\end{split}
となります。これらをまとめると、
\begin{split}
\F[f(t)\cos (at)]&=\ff{1}{2}\F[f(t)e^{iat}]+\ff{1}{2}\F[f(t)e^{-iat}] \EE
&=\ff{1}{2}\Big( F(w+a)+F(w-a) \Big)
\end{split}
という結果となります。
同様にして $f(t)\sin(at)$ のフーリエ変換を考えると、
\begin{split}
\F[f(t)\cos (at)]&=\ff{i}{2}\Big( F(w+a)-F(w-a) \Big)
\end{split}
が得られます。つまり、
$$
\left\{
\begin{split}
\F\Big[f(t)\cos (at)\Big]&=\ff{1}{2}\Big(F(w-a)+F(w+a) \Big) \EE
\F\Big[f(t)\sin (at)\Big]&=-\ff{i}{2}\Big(F(w-a)-F(w+a)\Big)
\end{split}
\right.
$$
となることが言えます。冒頭で示した結果が得られます。
三角関数とフーリエ逆変換の関係
次に、フーリエ逆変換について考えていきます。まず、$F(w)\cos(aw)$ のフーリエ逆変換について考えます。これはオイラーの公式から、
\begin{split}
\F^{-1}[F(w)\cos(aw)]&= \ff{1}{2}\F^{-1}\Big[F(w)e^{iaw}+F(w)e^{-iaw} \Big] \EE
&=\ff{1}{2}\F^{-1}\Big[F(w)e^{iaw}\Big]+\ff{1}{2}\F^{-1}\Big[F(w)e^{-iaw} \Big]
\end{split}
と表せます。これに移動法則を用いることで、
\begin{split}
\F^{-1}[F(w)\cos(aw)]&=\ff{1}{2}\Big(f(t+a)+f(t-a) \Big)
\end{split}
とできます。同様に $F(w)\sin (aw)$ のフーリエ逆変換を考えると、
\begin{split}
\F^{-1}[F(w)\sin(aw)]&=-\ff{i}{2}\Big(f(t+a)-f(t-a) \Big)
\end{split}
が得られます。
以上の結果をまとめると、$F(w)\cos (aw)$ や $F(w)\sin (aw)$ のフーリエ逆変換が次の様にまとめられます。
$$
\left\{
\begin{split}
\F^{-1}\Big[F(w)\cos (aw)\Big]&=\ff{1}{2}\Big(f(t+a)+f(t-a) \Big) \EE
\F^{-1}\Big[F(w)\sin (aw)\Big]&=-\ff{i}{2}\Big(f(t+a)-f(t-a) \Big)
\end{split}
\right.
$$
とできます。
具体的な計算例
では、具体例を用いて関数のフーリエ変換を考えていきます。
例題１：$e^{-t^2}\cos (at)$ のフーリエ変換
今、$f(t)=e^{-t^2}$ とすると、そのフーリエ変換はフーリエ変換表を参照すると
\begin{split}
\F[e^{-t^2}]=F(w)=\ff{1}{\sqrt{2}}e^{-\ff{w^2}{4}}
\end{split}
とできます。これより与式のフーリエ変換が以下のようにできます。
\begin{split}
\F[e^{-t^2}\cos (at)]&=\ff{1}{2}\Big(F(w-a)+F(w+a) \Big) \EE
&=\ff{1}{2\sqrt{2}}\Big( e^{-\ff{(w-a)^2}{4}}+e^{-\ff{(w+a)^2}{4}}\Big)
\end{split}
例題２：$\sqrt{2}e^{-w^2}\cos (aw)$ のフーリエ逆変換
今、$F(w)=e^{-w^2}$ とすると、そのフーリエ逆変換はフーリエ逆変換表を参照することで
\begin{split}
\F^{-1}[\sqrt{2}e^{-w^2}]=f(t)=e^{-\ff{1}{4}t^2}
\end{split}
とできます。これより、与式のフーリエ逆変換はフーリエ逆変換表を参照することで、
\begin{split}
\F^{-1}[\sqrt{2}e^{-w^2}\cos (aw)]&=\ff{1}{2}\Big( f(t-a)+f(t+a) \Big) \EE
&=\ff{1}{2}\Big( e^{-\ff{(t-a)^2}{4}}+e^{-\ff{(t+a)^2}{4}} \Big)
\end{split}
となります。
