今回はフーリエ変換とフーリエ逆変換を組み合わせて熱伝導方程式を解く方法について説明します。
具体的には、以下の温度の時間変化を表す偏微分方程式である熱伝導方程式を、フーリエ変換により解く方法を説明します。
\begin{eqnarray}
\ff{\del T}{\del t} = \A\ff{\del^2 T}{\del x^2}
\end{eqnarray}
なお、ラプラス変換を用いて微分方程式を解く方法についてはこちらで説明しています。熱伝導方程式を解く準備として、まずは熱伝導方程式のフーリエ変換について考えます。
熱伝導方程式のフーリエ変換
まずは熱伝導方程式のフーリエ変換を考えます。ここでは簡単のため、一次元の熱伝導方程式を考え、また内部での発熱も無いとすると、
\begin{split}
\ff{\del T}{\del t} = \A\ff{\del^2 T}{\del x^2}
\end{split}
とできます。ただし、$\A$ を熱拡散率とします。今、温度分布を表す関数 $T(x,t)$ に関して、$x$ についてフーリエ変換を実施します。すると、
\begin{eqnarray}
\F\left[\ff{\del T}{\del t}\right] &=& \F\left[\A\ff{\del^2 T}{\del x^2}\right] \EE
\ff{\del \tau}{\del t}&=& \A(iw)^2\tau \EE
\therefore\,\ff{\del \tau}{\del t}&=&-\A w^2\tau\tag{1}
\end{eqnarray}
とできます。なお、変換の際にはフーリエ変換の微分法則を適用しています。また、$\F[T(x,t)]=\tau(w,t)$ としています。
フーリエ変換による熱伝導方程式の解法
式$(1)$を $t$ についての微分方程式と見ると、その解はロケット方程式の解法を参照して次の様に求められます。
\begin{split}
\ff{\del \tau}{\del t}&=-\A w^2\tau \EE
\ff{\del \tau}{\tau}&=-\A w^2\diff t \EE
\log \tau&=-\A w^2t+C \EE
\therefore\, \tau &=C(w)\cdot e^{-\A w^2t}
\end{split}
ここで、初期条件（＝境界条件）として $T(x,0)=e^{-x^2}$ を与えます。これをフーリエ変換すると、
\begin{split}
\F[e^{-x^2}]=\ff{1}{\sqrt{2}}e^{-\ff{w^2}{4}}
\end{split}
とできます。ゆえに、先程求めた $\tau$ に $t=0$ を適用することで、
\begin{split}
\tau(w,0)=C(w)=\ff{1}{\sqrt{2}}e^{-\ff{w^2}{4}}
\end{split}
が得られます。以上をまとめると $\tau$ が
\begin{split}
\tau(w,t)&=\ff{1}{\sqrt{2}}e^{-\ff{w^2}{4}}\cdot e^{-\A w^2t} \EE
&=\ff{1}{\sqrt{2}}e^{-\ff{w^2}{4}(1+4\A t)}
\end{split}
となります。フーリエ変換表を参照しながらフーリエ逆変換を実施すると、
\begin{split}
\F^{-1}[\tau(w,t)]&=\F^{-1}\left[\ff{1}{\sqrt{2}}e^{-\ff{w^2}{4}(1+4\A t)}\right] \EE
T(x,t)&=\ff{1}{\sqrt{1+4\A t}}e^{-\ff{w^2}{1+4\A t}}
\end{split}
が得られます。このようにして、熱伝導方程式の解がフーリエ変換により得られます。
