今回は双曲線関数と呼ばれる関数のラプラス変換を導いていきます。結論を示すとこれらのラプラス変換は以下の様になります。
$0\leq t$ なる実数、$|a|<s$ として双曲線関数 $\cosh at,\sinh at$ のラプラス変換は次の様に表せる。
$$
\left\{
\begin{split}
&\L[\cosh at]=\ff{s}{s^2-a^2} \EE
&\L[\sinh at]=\ff{a}{s^2-a^2}
\end{split}
\right.
$$
また、$\cosh^2 at,\sinh^2 at$ のラプラス変換は次の様に表せる。
$$
\left\{
\begin{split}
&\L[\cosh^2 at]=\ff{s^2-2a^2}{s(s^2-4a^2)} \EE
&\L[\sinh^2 at]=\ff{2a^2}{s(s^2-4a^2)}
\end{split}
\right.
$$
これらの結果を導く準備として、まずは双曲線関数の性質について説明します。
双曲線関数の性質
二体問題を解くと双曲線などの二次曲線が現れますが、双曲線に関係するものとして双曲線関数が存在します。
さて、双曲線関数は $\cosh x,\sinh x,\tanh x$ などと表記され、次の様に定義されます。
$$
\left\{
\begin{split}
&\cosh x=\ff{e^{x}+e^{-x}}{2} \EE
&\sinh x=\ff{e^{x}-e^{-x}}{2} \EE
&\tanh x=\ff{\sinh x}{\cosh x}
\end{split}
\right.
$$
$\cosh x,\sinh x$ を描画すると下図のようになります。
ところで、$\cosh^2 x-\sinh^2 x$ について計算してみると、
\begin{split}
\cosh^2 x-\sinh^2 x&=\ff{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x})-\ff{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x}) \EE
&=1
\end{split}
となって、ここで $t=\cosh x,u=\sinh x$ とすれば、
\begin{split}
t^2-u^2&=1
\end{split}
となり双曲線を表す方程式と一致します。このように、双曲線関数は双曲線との関係を持ちます。
双曲線関数のラプラス変換の導出
それでは、今回の本題である双曲線関数のラプラス変換を導いていきます。今、$0\leq t$ なる実数として $\cosh t$ のラプラス変換を考えます。これは、ラプラス変換の定義より次のように計算できます。
\begin{split}
\L\left[ \cosh t \right] &=\L\left[ \ff{e^{t}+e^{-t}}{2} \right] \EE
&=\int_0^{\infty}\left( \ff{e^{t}+e^{-t}}{2} \right)e^{-st}\diff t \EE
&=\ff{1}{2}\left(\int_0^{\infty}e^{(1-s)t}\diff t+\int_0^{\infty}e^{(-1-s)t}\diff t \right) \EE
&=\ff{1}{2}\left(\left[ \ff{1}{1-s}e^{(1-s)t} \right]_0^{\infty}+\left[ \ff{1}{-1-s}e^{(-1-s)t} \right]_0^{\infty} \right) \EE
&=\ff{1}{2}\left( -\ff{1}{1-s}+\ff{1}{1+s} \right) \EE
&=\ff{s}{s^2-1}
\end{split}
ただし、$1<s$ とします。同様にして $\sinh t$ のラプラス変換は次のように求められます。
\begin{split}
\L\left[ \sinh t \right]
&=\int_0^{\infty}\left( \ff{e^{t}-e^{-t}}{2} \right)e^{-st}\diff t \EE
&=\ff{1}{2}\left(\int_0^{\infty}e^{(1-s)t}\diff t-\int_0^{\infty}e^{(-1-s)t}\diff t \right) \EE
&=\ff{1}{2}\left(\left[ \ff{1}{1-s}e^{(1-s)t} \right]_0^{\infty}-\left[ \ff{1}{-1-s}e^{(-1-s)t} \right]_0^{\infty} \right) \EE
&=\ff{1}{2}\left( -\ff{1}{1-s}-\ff{1}{1+s} \right) \EE
&=\ff{1}{s^2-1}
\end{split}
次に、より一般的な双曲線関数のラプラス変換について考えてみます。
すなわち、$|a|<s$ として $\cosh at,\sinh at$ のラプラス変換について考えます。これは、ラプラス変換の相似法則を用いることで以下のように求められます。
\begin{split}
\L[\cosh at]&=\ff{1}{a}\ff{\ff{s}{a}}{\ff{s^2}{a^2}-1} \EE
&=\ff{s}{s^2-a^2}
\end{split}
\begin{split}
\L[\sinh at]&=\ff{1}{a}\ff{1}{\ff{s^2}{a^2}-1} \EE
&=\ff{a}{s^2-a^2}
\end{split}
以上より冒頭のラプラス変換の結果を導けました。
$\cosh^2 at,\sinh^2 at$ のラプラス変換の導出
次に、$\cosh^2 at,\sinh^2 at$ のラプラス変換を導くことを考えます。まず、$\cosh^2 at$ については、
\begin{split}
\cosh^2 at&=\ff{1}{4}(e^{2ax}+e^{-2ax}+2)
\end{split}
と表せて、これより $\cosh^2 at$ のラプラス変換は
\begin{split}
\L[\cosh^2 at]&=\ff{1}{4}\L\left[e^{2ax}+e^{-2ax}+2\right]
\end{split}
とできます。これにラプラス変換の線形法則と指数関数のラプラス変換の結果を利用すると、
\begin{split}
\ff{1}{4}\L\left[e^{2ax}+e^{-2ax}+2\right]&=\ff{1}{4}\L[e^{2at}]+\ff{1}{4}\L[e^{-2at}]+\ff{1}{2}\L[1]\EE
&=\ff{1}{4}\left(\ff{1}{s-2a}+\ff{1}{s+2a}+\ff{2}{s}\right) \EE
&=\ff{s^2-2a^2}{s(s^2-4a^2)}
\end{split}
となって、
\begin{split}
\L[\cosh^2 at]&=\ff{s^2-2a^2}{s(s^2-4a^2)}
\end{split}
が得られます。同様にして $\L[\sinh^2 at]$ のラプラス変換を実行すると、
\begin{split}
\L[\sinh^2 at]&=\ff{2a^2}{s(s^2-4a^2)}
\end{split}
が得られます。以上より冒頭のラプラス変換の結果を導けました。なお、$\L[\cosh^2 at]-\L[\sinh^2 at]$ を計算すると $\DL{\ff{1}{s}}$ になることも分かります。
