今回はベッセル関数と呼ばれる特殊関数のラプラス変換について説明します。結論を先に示すと、ベッセル関数のラプラス変換は次の様に表せます。
$k$ 次のベッセル関数 $J_k(t)$ について、$t^kJ_k(t)$ のラプラス変換は次の様に表せる。
ただし、$\Gamma(x)$ をガンマ関数とする。
\begin{split}
\L\left[t^kJ_k(t)\right] &=\ff{2^k}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left( k+\ff{1}{2} \right)\ff{1}{(1+s^2)^{k+\ff{1}{2}}}
\end{split}
なお、$k$ 次のベッセル関数 $J_k(t)$ のラプラス変換は次の様に表せる。
\begin{split}
\L[J_k(t)] &=\ff{ ( \sqrt{s^2+a^2}-s )^k }{a^k\sqrt{s^2+a^2}} \\
\,
\end{split}
一般の $k$ 次のベッセル関数の導出を行う前に、$0$ 次のベッセル関数のラプラス変換の導出を行います。
0次のベッセル関数のラプラス変換の導出
前述のように、まずは $0$ 次のベッセル関数のラプラス変換を導きます。
さて、ベッセル関数は次の様な級数展開の形で表される関数で、ケプラー方程式の解を成したり、膜の振動を表す方程式に登場する特殊関数の一種です。
\begin{split}
J_k(t) &= \sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{n!(k+n)!}\left( \ff{t}{2} \right)^{k+2n} \EE
&=\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{n!\Gamma(k+n+1)}\left( \ff{t}{2} \right)^{k+2n}
\end{split}
なお、$\Gamma(x)$ をガンマ関数とします。また、$k$ のことをベッセル関数の次数と呼びます。
この節では、$k=0$ すなわち、$0$ 次のベッセル関数のラプラス変換の導出を行います。まず、$0$ 次のラプラス変換は次の様に表示できて、
\begin{split}
J_0(t) &= \sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{n!\cdot n!}\left( \ff{t}{2} \right)^{2n}\EE
&=\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{(n!)^2\cdot 2^{2n}}t^{2n}
\end{split}
これより、$0$ 次のラプラス変換が以下の様に計算できます。
\begin{split}
\L[J_0(t)] &=\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{(n!)^2\cdot 2^{2n}}\L[t^{2n}] \EE
&=\ff{1}{s}\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{(n!)^2\cdot 2^{2n}}\ff{(2n)!}{s^{2n}}
\end{split}
計算の過程では累乗のラプラス変換の結果を用いています。次に、総和記号の中身を書き下します。すると、
\begin{split}
\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{(n!)^2\cdot 2^{2n}}\ff{(2n)!}{s^{2n}}&=1-\ff{2!}{2^2}\ff{1}{s^2}+\ff{4!}{2^2\cdot 4^2}\ff{1}{s^4}-\ff{6!}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}\ff{1}{s^6}\\
&\qquad+\ff{8!}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdot 8^2}\ff{1}{s^8}-\cdots \\[8pt]
&=1-\ff{1}{2}\ff{1}{s^2}+\ff{1\cdot 3}{2\cdot 4}\ff{1}{s^4}-\ff{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\ff{1}{s^6}\\
&\qquad+\ff{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}\ff{1}{s^8}-\cdots
\end{split}
この級数は、以前にエラー関数のラプラス変換を導いた際に見たように $\DL{\ff{1}{\sqrt{1+\ff{1}{s^2}}}}$ の級数展開と一致します。ゆえに、
\begin{split}
\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{(n!)^2\cdot 2^{2n}}\ff{(2n)!}{s^{2n}}&=\ff{1}{\sqrt{1+\ff{1}{s^2}}}
\end{split}
が成立して、以上より
\begin{split}
\L[J_0(t)]
&=\ff{1}{s}\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{(n!)^2\cdot 2^{2n}}\ff{(2n)!}{s^{2n}} \EE
&=\ff{1}{s\sqrt{1+\ff{1}{s^2}}} =\ff{1}{\sqrt{s^2+1}}
\end{split}
が導けます。
$k$次のベッセル関数のラプラス変換の導出
次に、ベッセル関数の次数を一般の $k$ とした $J_k(t)$ のラプラス変換について導きます。まず、次数を $k$ としたベッセル関数の級数展開は、
\begin{split}
J_k(t) &=\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{n!\Gamma(k+n+1)}\left( \ff{t}{2} \right)^{k+2n}
\end{split}
とできます。これのラプラス変換を考えたいのですが、このままでは計算がしづらいため、両辺に $t^k$ を掛けた
\begin{split}
t^kJ_k(t) &=\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{n!\Gamma(k+n+1)2^{k+2n} }t^{2k+2n}
\end{split}
のラプラス変換について考えます。これのラプラス変換を実行して累乗のラプラス変換も適用すると、
\begin{split}
\L[t^kJ_k(t)] &=\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{n!\Gamma(k+n+1)2^{k+2n}} \L[t^{2(k+n)}] \EE
&=\sum_{n=0}^{\infty} \ff{(-1)^n}{n!\,2^{k+2n}}\ff{\Gamma(2k+2n+1)}{\Gamma(k+n+1)}\ff{1}{s^{2(k+n)+1}}
\end{split}
とできます。これを整理するに当たり、まずは $\DL{\ff{\Gamma(2k+2n+1)}{\Gamma(k+n+1)}}$ を計算します。すると、
\begin{split}
\ff{\Gamma(2k+2n+1)}{\Gamma(k+n+1)}&=\ff{(2k+2n)(2k+2n-1)\cdots(2k+1)}{(k+n)(k+n-1)\cdots(k+1)}\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)} \EE
&=2^n (2k+2n-1)(2k+2n-3)\cdots(2k+1)\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)} \EE
&=2^{2n}\left(k+n-\ff{1}{2} \right)\left(k+n-\ff{3}{2} \right)\cdots\left(k+\ff{1}{2} \right)\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)} \EE
&=(-1)^n2^{2n}\left(-k-n+\ff{1}{2} \right)\left(-k-n+\ff{3}{2} \right)\cdots\left(-k-\ff{1}{2} \right)\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)}
\end{split}
これを元の式に適用すると、
\begin{split}
\L[t^kJ_k(t)] &=\ff{2^{-k}}{s^{2k+1}}\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)}\sum_{n=0}^{\infty}\ff{\left(-k-n+\ff{1}{2} \right)\left(-k-n+\ff{3}{2} \right)\cdots\left(-k-\ff{1}{2} \right)}{n!} \left(\ff{1}{s^{2}}\right)^n
\end{split}
となって、これの総和部分は一般二項定理より、
\begin{split}
\sum_{n=0}^{\infty}\ff{\left(-k-n+\ff{1}{2} \right)\left(-k-n+\ff{3}{2} \right)\cdots\left(-k-\ff{1}{2} \right)}{n!} \left(\ff{1}{s^{2}}\right)^n=\left(1+\ff{1}{s^2} \right)^{-k-\ff{1}{2}}
\end{split}
であることが言えます。ゆえに、
\begin{split}
\L[t^kJ_k(t)] &=\ff{2^{-k}}{s^{2k+1}}\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)}\left(1+\ff{1}{s^2} \right)^{-k-\ff{1}{2}} \EE
&=\ff{2^{-k}\,\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)}\ff{1}{(1+s^2)^{k+\ff{1}{2}}}
\end{split}
が得られます。最後の仕上げとして、$\DL{\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)}}$ を求める必要がありますが、これについてはベータ関数の性質を利用しつつ求めていきます。つまり、
\begin{split}
\ff{\Gamma(2k+1)}{\Gamma(k+1)}&=\ff{1}{\ff{\Gamma(k+1)}{\Gamma\left(k+\ff{1}{2}\right)}\ff{\Gamma\left(k+\ff{1}{2}\right)}{\Gamma(2k+1)}}=\ff{1}{\ff{\Gamma(k+1)}{\Gamma\left(k+\ff{1}{2}\right)}\ff{B\left(k+\ff{1}{2},k+\ff{1}{2} \right)}{\Gamma(k+\ff{1}{2})}}
\end{split}
とできることを利用します。今、$\DL{B\left(k+\ff{1}{2},k+\ff{1}{2} \right)}$ は次のようにできて、
\begin{split}
B\left(k+\ff{1}{2},k+\ff{1}{2} \right)&=\int_0^1x^{k-\ff{1}{2}}(1-x)^{k-\ff{1}{2}}\diff x
\end{split}
$x=\DL{\ff{t+1}{2}}$ と置換すると上式は
\begin{split}
\int_{-1}^1\left( \ff{t+1}{2} \right)^{k-\ff{1}{2}}\left( \ff{-t+1}{2} \right)^{k-\ff{1}{2}}\diff t
&=2^{1-2k}\int_0^1(1-t^2)^{2k-1}\diff t
\end{split}
となり、$t^2=u$ としてさらに置換すると、
\begin{split}
2^{-2k}\int_0^1(1-u)^{k-\ff{1}{2}}u^{-\ff{1}{2}}\diff u
&=2^{-2k}B\left(k+\ff{1}{2},\ff{1}{2} \right)\EE
&=2^{-2k}\ff{\Gamma\left( k+\ff{1}{2} \right)\Gamma\left( \ff{1}{2} \right)}{\Gamma\left( k+1 \right)} \EE
\therefore\, B\left(k+\ff{1}{2},k+\ff{1}{2} \right)&=\ff{2^{-2k}\sqrt{\pi}\,\Gamma\left( k+\ff{1}{2} \right)}{\Gamma\left( k+1 \right)}
\end{split}
この結果を最初の式に戻すと、
\begin{split}
\L\left[t^kJ_k(t)\right] &=\ff{2^k}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left( k+\ff{1}{2} \right)\ff{1}{(1+s^2)^{k+\ff{1}{2}}}
\end{split}
が導かれます。以上より、冒頭のベッセル関数のラプラス変換を導けました。ここまで来れば $k$ 次のラプラス変換 $\L[J_k(t)]$ は、上の式に $t^n$ 積法則やライプニッツの定理を駆使することで求められます。これを実行すると、
\begin{split}
\L[J_k(t)] &=\ff{ ( \sqrt{s^2+a^2}-s )^k }{a^k\sqrt{s^2+a^2}}
\end{split}
と $k$ 次のベッセル関数のラプラス変換が得られます。
