代表的な関数のラプラス変換の結果を下表に示します。また、この表のことをラプラス変換表と呼びます。なお、ラプラス逆変換表はこちらに掲載していきます。
【ラプラス変換表】
| $f(t)$ | $\L[f(t)]$ | 関連項目 | |
| $1$ | $a$ ($a$ は実数) | $\DL{\ff{a}{s}}$ | ラプラス変換の定義 |
| $2$ | $at$ | $\DL{\ff{a}{s^2}}$ | |
| $3$ | $t^n$ | $\DL{\ff{n!}{s^{n+1}}}$ | 累乗関数の ラプラス変換 |
| $4$ | $t^{\A}$ | $\DL{\ff{\Gamma(\A+1)}{s^{\A+1}}}$ | ガンマ関数 |
| $5$ | $\delta(t)$ | $1$ | ディラック関数の ラプラス変換 |
| $6$ | $U(t)$ | $\DL{\ff{1}{s}}$ | 単位ステップ関数の ラプラス変換 |
| $7$ | $e^{at}$ | $\DL{\ff{1}{s-a}}$ | 指数関数の ラプラス変換 |
| $8$ | $t^ne^{at}$ | $\DL{\ff{n!}{(s-a)^{n+1}}}$ | $t^n$ 積法則 |
| $9$ | $\sin at$ | $\DL{\ff{a}{s^2+a^2}}$ | 三角関数の ラプラス変換 |
| $10$ | $\cos at$ | $\DL{\ff{s}{s^2+a^2}}$ | 三角関数の ラプラス変換 |
| $11$ | $e^{bt}\sin at$ | $\DL{\ff{a}{(s-b)^2+a^2}}$ | 第一移動法則 |
| $12$ | $e^{bt}\cos at$ | $\DL{\ff{s-b}{(s-b)^2+a^2}}$ | 第一移動法則 |
| $13$ | $\sin^2 at$ | $\DL{\ff{2a^2}{s(s^2+4a^2)}}$ | |
| $14$ | $\cos^2 at$ | $\DL{\ff{s^2+2a^2}{s(s^2+4a^2)}}$ | |
| $15$ | $\sinh at$ | $\DL{\ff{a}{s^2-a^2}}$ | 双曲線関数の ラプラス変換 |
| $16$ | $\cosh at$ | $\DL{\ff{s}{s^2-a^2}}$ | 双曲線関数の ラプラス変換 |
| $17$ | $\sinh^2 at$ | $\DL{\ff{2a^2}{s(s^2-4a^2)}}$ | |
| $18$ | $\cosh^2 at$ | $\DL{\ff{s^2-2a^2}{s(s^2-4a^2)}}$ | |
| $19$ | $\RM{erf}(\sqrt{at})$ | $\DL{ \ff{\sqrt{a}}{s\sqrt{s+a}} }$ | エラー関数の ラプラス変換 |
| $20$ | $\DL{ J_0(t) }$ | $\DL{ \ff{1}{\sqrt{s^2+1}} }$ | $0$ 次のベッセル関数の ラプラス変換 |
| $21$ | $\DL{t^k J_k(t) }$ | $\DL{ \ff{2^k}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left( k+\ff{1}{2} \right)\ff{1}{(1+s^2)^{k+\ff{1}{2}}} }$ | $k$ 次のベッセル関数の ラプラス変換 |
| $22$ | $\DL{J_k(at) }$ | $\DL{ \ff{ ( \sqrt{s^2+a^2}-s )^k }{a^k\sqrt{s^2+a^2}} }$ | $k$ 次のベッセル関数の ラプラス変換 |
| $23$ | $\DL{\L[(f\ast g)(t)]}$ | $F(s)G(s)$ | 畳み込み積分の ラプラス変換 |
次に、ラプラス変換の重要な諸性質を下表に示します。
【ラプラス変換の緒性質】
| $1$ | 線形法則 | $\L[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)$ | $\L[f(t)]=F(s),$ $\L[g(t)]=G(s)$ |
| $2$ | 相似法則 | $\DL{\L[f(at)]=\ff{1}{a}F\left( \ff{s}{a} \right)}$ | |
| $3$ | 第一移動法則 | $\L[e^{a t}f(t)]=F(s-a)$ | |
| $4$ | 第二移動法則 | $\L[U(t-a)f(t-a)]=e^{-a s}F(s)$ | $U(x)$ はステップ関数 |
| $5$ | 微分法則① | $\DL{\L[f'(t)]=s\L[f(t)]-f(0)}$ | |
| $6$ | 微分法則② | $\DL{\L[f^{(n)}(t)]=s^n\L[f(t)]-\sum_{k=1}^n s^{n-k}f^{(k-1)}(0)}$ | |
| $7$ | 積分法則 | $\DL{\L\left[ \int_0^{t} f(u)\diff u \right]=\ff{1}{s}\L[f(t)]}$ | |
| $8$ | $t$ 積法則 | $\DL{\L\left[ tf(t) \right]=- \ff{\diff}{\diff s}F(s)}$ | |
| $9$ | $t^n$ 積法則 | $\DL{\L\left[ t^nf(t) \right]=(-1)^n \ff{\diff^n}{\diff s^n}F(s)}$ | $n=1,2,3,\cdots$ |
| $10$ | 畳み込み積分 | $\DL{\L[(f\ast g)(t)]=F(s)G(s)}$ |
