今回はラプラス逆変換の様々な性質と、それを利用したラプラス逆変換の例題について、その解法を説明します。
例えば、第一移動法則の逆変換は次のように表せます。
ラプラス逆変換の諸性質を以下に示します。
ラプラス逆変換の性質
ラプラス変換には線形法則や微分法則などの性質がありましたが、ラプラス逆変換でも同様の性質が成立します。主な性質として以下のようなものがあります。
【ラプラス逆変換の緒性質】
| $1$ | 線形法則 | $\L^{-1}[aF(s)+bG(s)]=af(t)+bg(t)$ | $F(s)=\L[f(t)],$ $G(s)=\L[g(t)]$ |
| $2$ | 相似法則 | $\DL{\L^{-1}\left[\ff{1}{a}F\left( \ff{s}{a} \right)\right]=f(at)}$ | |
| $3$ | 第一移動法則 | $\L^{-1}[F(s-a)]=e^{a t}f(t)$ | |
| $4$ | 第二移動法則 | $\L^{-1}[e^{-a s}F(s)]=U(t-a)f(t-a)$ | $U(x)$ はステップ関数 |
| $5$ | 微分法則① | $\DL{\L^{-1}[sF(s)-f(0)]=f'(t)}$ | |
| $6$ | 微分法則② | $\DL{\L^{-1}\left[s^nF(s)-\sum_{k=1}^n s^{n-k}f^{(k-1)}(0)\right]=f^{(n)}(t)}$ | |
| $7$ | 積分法則 | $\DL{\L^{-1}\left[\ff{F(s)}{s}\right]=\int_0^{t} f(u)\diff u }$ | |
| $8$ | $t$ 積法則 | $\DL{\L^{-1}\left[\ff{\diff}{\diff s}F(s)\right]=-tf(t)}$ | |
| $9$ | $t^n$ 積法則 | $\DL{\L^{-1}\left[\ff{\diff^n}{\diff s^n}F(s)\right]=(-1)^nt^nf(t)}$ | $n=1,2,3,\cdots$ |
| $10$ | 畳み込み積分 | $\DL{\L^{-1}[F(s)G(s)]=(f\ast g)(t)}$ |
これらの性質を利用した、ラプラス逆変換の例題とその解法を次節に示します。
ラプラス逆変換の例題
例題$1$：$\DL{\L^{-1}\left[ \ff{2}{s^3}+\ff{1}{s^2}\right]}$ を計算せよ。
まず、線形法則を用いて以下のように分解でき、
\begin{split}
\L^{-1}\left[ \ff{2}{s^3}+\ff{1}{s^2}\right]=2\L^{-1}\left[ \ff{1}{s^3}\right]+\L^{-1}\left[\ff{1}{s^2}\right]
\end{split}
次にラプラス逆変換表を参照すると、
\begin{split}
2\L^{-1}\left[ \ff{1}{s^3}\right]+\L^{-1}\left[\ff{1}{s^2}\right]&=\ff{2}{(3-1)!}t^2+\ff{1}{(2-1)!}t=t^2+t
\end{split}
が得られます。
例題$2$：$\DL{\L^{-1}\left[ \ff{1}{(s-2)^2+9}\right]}$ を計算せよ。
第一移動法則を用いて以下のようにでき、
\begin{split}
\L^{-1}\left[ \ff{1}{(s-2)^2+9}\right]&=e^{2t}\cdot \L^{-1}\left[ \ff{1}{s^2+9}\right]
\end{split}
そしてラプラス逆変換表を参照すると、
\begin{split}
e^{2t}\cdot \L^{-1}\left[ \ff{1}{s^2+9}\right]&=\ff{e^{2t}}{3}\sin 3t
\end{split}
が得られます。
例題$3$：$\DL{\L^{-1}\left[ \ff{1}{s(s^2+9)}\right]}$ を計算せよ。
$F(s)=\DL{\ff{1}{s^2+9}}$ と置くと与式は、$\DL\left[ \ff{F(s)}{s} \right]$ とできます。
次に、$\DL{\L^{-1}[F(s)]=\L^{-1}\left[ \ff{1}{s^2+9} \right]}$ は、ラプラス逆変換表を参照すると以下のようになります。
\begin{split}
\L^{-1}\left[ \ff{1}{s^2+9} \right]=\ff{1}{3}\sin 3t
\end{split}
\begin{split}
\L^{-1}\left[ \ff{F(s)}{s} \right]&=\int_0^t \ff{1}{3}\sin 3u\diff u \EE
&=\ff{1}{9}(1-\cos 3t)
\end{split}
が得られます。
例題$4$：$\DL{\L^{-1}\left[ \ff{1}{(s-1)(s-2)}\right]}$ を計算せよ。
$\DL{\ff{1}{(s-1)(s-2)}}$ の部分分数分解を実行すると、
\begin{split}
\ff{1}{(s-1)(s-2)}=-\ff{1}{s-1}-\ff{1}{s-2}
\end{split}
となるので、与式を以下のように変形できます。
\begin{split}
\L^{-1}\left[\ff{1}{(s-1)(s-2)}\right]=\L^{-1}\left[-\ff{1}{s-1}-\ff{1}{s-2}\right]
\end{split}
さらに、線形法則を適用してラプラス逆変換表を参照すると、
\begin{split}
\L^{-1}\left[-\ff{1}{s-1}-\ff{1}{s-2}\right]&=-\L^{-1}\left[\ff{1}{s-1}\right]-\L^{-1}\left[\ff{1}{s-2}\right] \EE
&=-e^{t}-e^{2t}
\end{split}
が得られます。
例題$5$：$\DL{\L^{-1}\left[ \ff{1}{(s+2)(s-3)}\right]}$ を計算せよ。
例題 $4$ と同様に部分分数分解により計算することもできますが、ここでは畳み込み積分の性質を用いた計算法を紹介します。まず、$F(s)=\DL{\ff{1}{s+2}},G(s)=\DL{\ff{1}{s-3}}$ とすると、
$$
\left\{
\begin{split}
&\L^{-1}[F(s)]=f(t)=e^{-2t} \EE
&\L^{-1}[G(s)]=g(t)=e^{3t}
\end{split}
\right.
$$
と逆変換できます。次に、畳み込み積分の性質を用いると与式の逆変換が次のように計算できます。
\begin{split}
\L^{-1}\left[ \ff{1}{(s+2)(s-3)}\right]&=\L^{-1}[F(s)\cdot G(s)] \EE
&=(f\ast g)(t)=\int_0^t e^{-2u}e^{3(t-u)}\diff u \EE
&=e^{3t}\int_0^te^{-5u}\,\diff u = e^{3t}\left[ -\ff{1}{5}e^{-5u} \right]_0^t \EE
&= \ff{1}{5}(e^{3t}-e^{-2t})
\end{split}
が得られます。
