代表的な関数のラプラス逆変換の結果を下表に示します。また、この表のことをラプラス逆変換表と呼びます。なお、ラプラス変換表はこちらに掲載していきます。
【ラプラス逆変換表】
| $F(s)$ | $\L^{-1}[F(s)]$ | 関連項目 | |
| $1$ | $\DL{\ff{1}{s}}$ | $1$ ($a$ は実数) | ラプラス変換の定義 |
| $2$ | $\DL{\ff{1}{s^2}}$ | $t$ | |
| $3$ | $\DL{\ff{1}{s^{n+1}}}$ | $\DL{\ff{t^n}{n!}}$ | 累乗関数の ラプラス変換 |
| $4$ | $\DL{\ff{1}{s^{\A+1}}}$ | $\DL{\ff{t^{\A}}{\Gamma(\A+1)}}$ | ガンマ関数 |
| $5$ | $1$ | $\delta(t)$ | ディラック関数の ラプラス変換 |
| $6$ | $\DL{\ff{1}{s}}$ | $U(t)$ | 単位ステップ関数の ラプラス変換 |
| $7$ | $\DL{\ff{1}{s-a}}$ | $e^{at}$ | 指数関数の ラプラス変換 |
| $8$ | $\DL{\ff{1}{(s-a)^{n+1}}}$ | $\DL{\ff{t^ne^{at}}{n!}}$ | $t^n$ 積法則 |
| $9$ | $\DL{\ff{1}{s^2+a^2}}$ | $\DL{\ff{\sin at}{a}}$ | 三角関数の ラプラス変換 |
| $10$ | $\DL{\ff{s}{s^2+a^2}}$ | $\cos at$ | 三角関数の ラプラス変換 |
| $11$ | $\DL{\ff{1}{(s-b)^2+a^2}}$ | $\DL{\ff{e^{bt}\sin at}{a}}$ | 第一移動法則 |
| $12$ | $\DL{\ff{s-b}{(s-b)^2+a^2}}$ | $e^{bt}\cos at$ | 第一移動法則 |
| $13$ | $\DL{\ff{1}{s(s^2+4a^2)}}$ | $\DL{\ff{\sin^2 at}{2a^2}}$ | |
| $14$ | $\DL{\ff{s^2+2a^2}{s(s^2+4a^2)}}$ | $\cos^2 at$ | |
| $15$ | $\DL{\ff{1}{s^2-a^2}}$ | $\DL{\ff{\sinh at}{a}}$ | 双曲線関数の ラプラス変換 |
| $16$ | $\DL{\ff{s}{s^2-a^2}}$ | $\cosh at$ | 双曲線関数の ラプラス変換 |
| $17$ | $\DL{\ff{1}{s(s^2-4a^2)}}$ | $\DL{\ff{\sinh^2 at}{2a^2}}$ | |
| $18$ | $\DL{\ff{s^2-2a^2}{s(s^2-4a^2)}}$ | $\cosh^2 at$ | |
| $19$ | $\DL{ \ff{1}{s\sqrt{s+a}} }$ | $\DL{\ff{\RM{erf}(\sqrt{at})}{\sqrt{a}}}$ | エラー関数の ラプラス変換 |
| $20$ | $\DL{ \ff{1}{\sqrt{s^2+1}} }$ | $\DL{ J_0(t) }$ | $0$ 次のベッセル関数の ラプラス変換 |
| $21$ | $\DL{\ff{1}{(1+s^2)^{k+\ff{1}{2}}} }$ | $\DL{\ff{\sqrt{\pi}}{2^k \Gamma\left( k+\ff{1}{2} \right)}\cdot t^k J_k(t) }$ | $k$ 次のベッセル関数の ラプラス変換 |
| $22$ | $\DL{ \ff{ ( \sqrt{s^2+a^2}-s )^k }{a^k\sqrt{s^2+a^2}} }$ | $\DL{J_k(at) }$ | $k$ 次のベッセル関数の ラプラス変換 |
| $23$ | $F(s)G(s)$ | $(f\ast g)(t)$ | 畳み込み積分の ラプラス変換 |
次に、ラプラス逆変換の重要な諸性質を下表に示します。
【ラプラス逆変換の緒性質】
| $1$ | 線形法則 | $\L^{-1}[aF(s)+bG(s)]=af(t)+bg(t)$ | $\L^{-1}[F(s)]=f(t),$ $\L^{-1}[G(s)]=g(t)$ |
| $2$ | 相似法則 | $\DL{\L^{-1}\left[F\left( \ff{s}{a} \right)\right]=\ff{1}{a}f(at)}$ | |
| $3$ | 第一移動法則 | $\L^{-1}[F(s-a)]=e^{a t}f(t)$ | |
| $4$ | 第二移動法則 | $\L^{-1}[e^{-a s}F(s)]=U(t-a)f(t-a)$ | $U(x)$ はステップ関数 |
| $5$ | 微分法則① | $\DL{\L^{-1}[sF(s)-f(0)]=f'(t)}$ | $\L^{-1}[F(s)]=f(t)$ |
| $6$ | 微分法則② | $\DL{\L^{-1}\left[s^nF(s)-\sum_{k=1}^n s^{n-k}f^{(k-1)}(0)\right]=f^{(n)}(t)}$ | |
| $7$ | 積分法則 | $\DL{\L^{-1}\left[\ff{F(s)}{s}\right]=\int_0^{t} f(u)\diff u }$ | $\L^{-1}[F(s)]=f(t)$ |
| $8$ | $t$ 積法則 | $\DL{\L^{-1}\left[\ff{\diff}{\diff s}F(s)\right]=-tf(t)}$ | |
| $9$ | $t^n$ 積法則 | $\DL{\L^{-1}\left[\ff{\diff^n}{\diff s^n}F(s)\right]=(-1)^nt^nf(t)}$ | $n=1,2,3,\cdots$ |
| $10$ | 畳み込み積分 | $\DL{\L^{-1}[F(s)G(s)]=(f\ast g)(t)}$ |
