ラプラス変換による減衰振動の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法②

単振動のラプラス変換に引き続き、今回は減衰振動のラプラス変換を考えます。特性方程式を用いた減衰振動の解法についてはこちらで説明していますが、ラプラス変換により減衰振動を考えることが今回のポイントとなります。

なお、今回解く対象となるのは以下に示す微分方程式となります。

\begin{eqnarray}
m\ff{\diff^2 x(t)}{\diff t^2} &=& -c \ff{\diff x(t)}{\diff t}-kx(t)
\end{eqnarray}

これを解くため、まずは上式のラプラス変換について考えていきます。

減衰振動の微分方程式のラプラス変換

さて、減衰や強制振動も無いばねの運動は単振動と呼ばれます。この運動については前回、ラプラス変換により単振動解法にて説明しています。

一方、現実には空気抵抗やダンパー等の抵抗があるため、ばねに蓄えられたエネルギーは失われていきます。この場合、ばねの振動は徐々に小さくなっていきます。そして、このような振動のことを減衰振動と呼びます。

冒頭で説明したように、今回は減衰振動の運動を表す微分方程式をラプラス変換により解く方法を説明します。今回は特に、速度に比例した抵抗力を受ける場合の減衰振動について考えます。

このとき、減衰振動の運動方程式は次のように表せます。ただし、時刻 $t$ での質点の位置を $x(t)$、ばね定数を $k$、質点の質量を $m$、抵抗の比例定数を $c$ とします。

\begin{eqnarray}
m\ff{\diff^2 x(t)}{\diff t^2} &=& -c \ff{\diff x(t)}{\diff t}-kx(t)
\end{eqnarray}

早速、式 $(1)$ をラプラス変換してみましょう。初手として両辺に $\L$ を作用させます。すると、

\begin{split}
\L\left[ m\ff{\diff^2 x(t)}{\diff t^2}\right] &= \L\left[-c \ff{\diff x(t)}{\diff t}-kx(t)\right]
\end{split}

とできます。これにラプラス変換の線形法則を適用すると、

と係数を外に出すことができます。

準備が整ったので、今回の本番であるラプラス変換とラプラス逆変換による減衰振動の解法について説明していきます。

ラプラス変換を用いた減衰振動の解法

本題である、ラプラス変換とラプラス逆変換による減衰振動の解法について説明ししていきます。まず、$\L[x(t)]=X(s)$ として、式 $(2)$ にラプラス変換の微分法則を適用します。すると、

\begin{eqnarray}
m\Big\{s^2X(s)-s\,x(0)-\dot{x}(0) \Big\} &= -c\Big\{sX(s)-x(0)\Big\}-kX(s)\tag{3}
\end{eqnarray}

とできます。今回は初期条件として $x(0)=A,\,\dot{x}(0)=0$ を与えます。すると、

\begin{split}
m\left( s^2+\ff{c}{m}s+\ff{k}{m}\right)X(s)=mA\left( s+\ff{c}{m} \right)
\end{split}

となって、$X(s)$ について解くと、

\begin{split}
X(s)=A\ff{ \left(s+\ff{c}{2m}\right)+\ff{c}{2} }{\left(s+\ff{c}{2m}\right)^2+\ff{4mk-c^2}{4m^2} }
\end{split}

と整理できます。これにラプラス逆変換 $\L^{-1}[X(s)]$ を実行すると、求めたい $x(t)$ が得られます。ただし、正しい結果を得るために場合分けを行う必要があることに注意が必要です。

まず、$4mk-c^2>0$ の場合について考えます。この場合は、第一移動法則とラプラス逆変換表を参照することで、

と求められます。この結果は特性方程式より求めた減衰振動の結果と一致します。

ついでに $4mk-c^2=0$ と $4mk-c^2<0$ の場合についても考えてます。 $4mk-c^2=0$ の場合については、

とできるので、ラプラス逆変換表を参照すると、

\begin{split}
x(t)&=\L^{-1}[X(s)]\EE
&=A(1+t)e^{-\ff{c}{2m}t}
\end{split}

となります。これは、臨界減衰の結果と一致します。最後に、$4mk-c^2<0$ の場合については、ラプラス逆変換により以下のように求められます。

ただし、$\sinh x,\cosh x$ は双曲線関数とします。この結果も、過減衰の場合の結果と一致します。

瞬間的な衝撃を与えた場合の減衰振動の計算

ラプラス変換による減衰振動の解法の応用として、ある時刻に瞬間的な衝撃を与えた場合の運動について求めてみます。

さて、この衝撃はデルタ関数(インパルス関数) $\delta (t)$ によるものとして数式化できます。すなわち、今考えるべき微分方程式は以下のように表せます。

\begin{eqnarray}
m\ff{\diff^2 x}{\diff t^2}=-c \ff{\diff x}{\diff t}-kx+\delta(t)
\end{eqnarray}

これをラプラス変換すると以下のようにできます。

初期条件として $x(0)=0,\,\dot{x}(0)=0$ を与えます。すると、

\begin{eqnarray}
X(s)=\ff{1}{m}\ff{1}{\left(s+\ff{c}{2m}\right)^2+\ff{4mk-c^2}{4m^2} }
\end{eqnarray}

と $X(s)$ が求められます。これをラプラス逆変換すれば、衝撃を受けた場合の質点の変位を表す関数 $x(t)$ が得られます。

今、$4mk-c^2>0$ と仮定します。すると、ラプラス逆変換表と第一移動法則より以下のように $x(t)$ が求められます。