減衰振動のラプラス変換に引き続き、今回は強制振動のラプラス変換を考えます。特性方程式を用いた強制振動の解法についてはこちらで説明していますが、ラプラス変換により強制振動の解を導くことが今回のポイントとなります。
なお、今回解く対象となるのは以下に示す微分方程式となります。
\begin{eqnarray}
m\ff{\diff^2 x(t)}{\diff t^2} &=& -c \ff{\diff x(t)}{\diff t}-kx(t)+f\sin\omega t
\end{eqnarray}
これを解くため、まずは上式のラプラス変換について考えていきます。
なお、減衰や強制振動も無いばねの運動は単振動と呼ばれます。この運動については以前、ラプラス変換により単振動解法にて説明しています。
強制振動の微分方程式のラプラス変換
さて、時間的に変動する外力の影響を受け、強制的に引き起こされる振動のことを強制振動と呼びます。また、この外力のことを強制外力と呼びます。（減衰振動では外力を加えない点が異なります）
今回は特に強制外力が三角関数で表せる場合を考えます。なお、時刻 $t$ での質点の位置を $x(t)$、ばね定数を $k$、質点の質量を $m$、ダンパーなどの抵抗の比例定数を $c$ としています。
この強制振動を微分方程式で記述すると次のようになります。
\begin{eqnarray}
m\ff{\diff^2 x}{\diff t^2}=-c \ff{\diff x(t)}{\diff t}-kx(t)+f\sin \omega t
\end{eqnarray}
早速、式 $(1)$ をラプラス変換してみましょう。初手として両辺に $\L$ を作用させます。すると、
\begin{split}
\L\left[ m\ff{\diff^2 x(t)}{\diff t^2}\right] &= \L\left[-c \ff{\diff x(t)}{\diff t}-kx(t)+f\sin \omega t\right]
\end{split}
とできます。これにラプラス変換の線形法則を適用すると、
\begin{eqnarray}
m\,\L\left[ \ff{\diff^2 x(t)}{\diff t^2}\right] &= -c\L\left[\ff{\diff x(t)}{\diff t}\right]-k\L\left[x(t)\right]+f\L[\sin \omega t]\tag{2}
\end{eqnarray}
と係数を外に出すことができます。
準備が整ったので今回の本番であるラプラス変換とラプラス逆変換による強制振動の解法について説明していきます。
ラプラス変換を用いた強制振動の解法
今回の本題である、ラプラス変換とラプラス逆変換による強制振動の解法について説明ししていきます。まず、$\L[x(t)]=X(s)$ として、式 $(2)$ にラプラス変換の微分法則を適用します。すると、
\begin{eqnarray}
m\Big\{s^2X(s)-s\,x(0)-\dot{x}(0) \Big\} &= -c\Big\{sX(s)-x(0)\Big\}-kX(s)+\ff{\omega}{s^2+\omega^2}\tag{3}
\end{eqnarray}
とできます。今回は初期条件として $x(0)=0,\,\dot{x}(0)=0$ を与えます。また、$m=1,c=2,k=2,\omega =3$ であるとします。すると、
\begin{split}
\left( s^2+2s+2\right)X(s)=\ff{3}{s^2+9}
\end{split}
となります。上式を $X(s)$ について解くと、
\begin{split}
X(s)&=\ff{1}{(s^2+2s+2)}\cdot \ff{3}{s^2+9}
\end{split}
が得られます。これの部分分数分解を実行すると以下のようになります。
\begin{split}
X(s)&=\ff{6}{85}\left( \ff{s+1}{(s+1)^2+1}+\ff{\ff{9}{2}}{(s+1)^2+1} \right)-\ff{6}{85}\left( \ff{s}{s^2+9}+\ff{\ff{7}{2}}{s^2+9} \right)
\end{split}
この結果にラプラス逆変換を実行すると、欲しい $x(t)$ の答えが得られます。実際、移動法則やラプラス逆変換表、三角関数の合成を利用することで、
\begin{split}
\L^{-1}[X(s)]&=\ff{6}{85}e^{-t}\left(\cos t+\ff{9}{2}\sin t\right)\EE
&\qquad-\ff{6}{85}\left(\cos 3t+\ff{7}{6}\sin 3t\right)\EE
&=\ff{6}{85}e^{-t}\cdot \ff{\sqrt{85}}{2}\sin (t+\A)-\ff{6}{85}\cdot \ff{\sqrt{85}}{6}\sin(3t+\beta) \EE
x(t)&=\ff{1}{\sqrt{85}}\Big(3e^{-t}\sin (t+\A)-\sin(3t+\beta)\Big)
\end{split}
と求められます。ただし、$\DL{\cos\A=\ff{9}{\sqrt{85}},\cos\beta=\ff{7}{\sqrt{85}}}$ とします。このようにして、強制振動の解が得られます。
