前回、ラプラス変換による連立微分方程式の解法を考えました。今回はこれを連成振動に応用することを考えます。
この計算でも、ラプラス変換を用いて連立微分方程式を代数方程式に変換することがポイントとなります。さて、今回解く対象となるのは以下に示す連立微分方程式となります。
$$
\left\{
\begin{split}
m_1\ff{\diff^2 x_1(t)}{\diff t^2}&=-(k_1+k_2)x_1(t)+k_2x_2(t)\EE
m_2\ff{\diff^2 x_2(t)}{\diff t^2}&=k_2x_1(t)-(k_2+k_3)x_2(t)+k_3x_3(t)\EE
m_3\ff{\diff^2 x_3(t)}{\diff t^2}&=k_3x_2(t)-(k_3+k_4)x_3(t)
\end{split}
\right.
$$
なお、連成振動のスタンダードな解法については、こちらで説明しています。
これを解くため、上式のラプラス変換について考えていきます。
連成振動の微分方程式のラプラス変換
$2$ 個以上の物体が連動し、振動している状態のことを連成振動と呼びます。
今回は、上図のようにばね定数がそれぞれがそれぞれ $k_1,k_2,k_3,k_4$ のばねに繋がれた $3$ つの錘(質量：$m_1,m_2,m_3$) の連成振動について考えていきます。
この連成振動の運動方程式はオイラー・ラグランジュ方程式等を利用することで、以下のような連立微分方程式として記述できます。
$$
\left\{
\begin{split}
m_1\ff{\diff^2 x_1(t)}{\diff t^2}&=-(k_1+k_2)x_1(t)+k_2x_2(t)\EE
m_2\ff{\diff^2 x_2(t)}{\diff t^2}&=k_2x_1(t)-(k_2+k_3)x_2(t)+k_3x_3(t)\EE
m_3\ff{\diff^2 x_3(t)}{\diff t^2}&=k_3x_2(t)-(k_3+k_4)x_3(t)
\end{split}
\right.
$$
早速、式 $(1)$ をラプラス変換してみましょう。初手として両辺に $\L$ を作用させます。そして、ラプラス変換の線形法則を適用すると、
$$
\left\{
\begin{split}
m_1\L\left[\ff{\diff^2 x_1(t)}{\diff t^2}\right]&=-(k_1+k_2)\L[x_1(t)]+k_2\L[x_2(t)]\EE
m_2\L\left[\ff{\diff^2 x_2(t)}{\diff t^2}\right]&=k_2\L[x_1(t)]-(k_2+k_3)\L[x_2(t)]+k_3\L[x_3(t)]\EE
m_3\L\left[\ff{\diff^2 x_3(t)}{\diff t^2}\right]&=k_3\L[x_2(t)]-(k_3+k_4)\L[x_3(t)]
\end{split}
\right.\tag{1}
$$
とできます。
準備が整ったので今回の本番であるラプラス変換とラプラス逆変換を用いた連成振動の解法について説明していきます。
連成振動のラプラス変換
式 $(1)$ を解くに当たり、三つの錘の質量が等しく、またばね定数も等しい場合を考えます。すなわち、$m_1=m_2=m_3=m,$ $k_1=k_2=k_3=k_4=k$ とします。ゆえに、今回解く連立微分方程式は以下のようになります。
$$
\left\{
\begin{split}
m\L\left[\ff{\diff^2 x_1(t)}{\diff t^2}\right]&=-2k\L[x_1(t)]+k\L[x_2(t)]\EE
m\L\left[\ff{\diff^2 x_2(t)}{\diff t^2}\right]&=k\L[x_1(t)]-2k\L[x_2(t)]+k\L[x_3(t)]\EE
m\L\left[\ff{\diff^2 x_3(t)}{\diff t^2}\right]&=k\L[x_2(t)]-2k\L[x_3(t)]
\end{split}
\right.\tag{2}
$$
これにラプラス変換の微分法則を適用しつつ計算を実行すると、
$$
\left\{
\begin{split}
m\Big\{s^2X_1(s)-sx_1(0)-\dot{x}_1(0) \Big\}&=-2kX_1(s)+kX_2(s)\EE
m\Big\{s^2X_2(s)-sx_2(0)-\dot{x}_2(0) \Big\}&=kX_1(s)-2kX_2(s)+kX_3(s)\EE
m\Big\{s^2X_3(s)-sx_3(0)-\dot{x}_3(0) \Big\}&=kX_2(s)-2kX_3(s)
\end{split}
\right.\tag{3}
$$
となります。なお、$\L[x_1(t)]=X_1(s),\L[x_2(t)]=X_2(s),\L[x_3(t)]=X_3(s)$ としています。
ここで、初期条件として $x_1(0)=1,x_2(0)=x_3(0)=0\,\dot{x}_1(0)=\dot{x}_2(0)=\dot{x}_3(0)=0$ を与えます。また $m=1,k=1$ として、行列の表示に整理すると、
$$
\begin{bmatrix}
s^2+2 & -1 & 0\\
-1 & s^2+2 & -1\\
0 & -1 & s^2+2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X_1(s)\\
X_2(s)\\
X_3(s)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
s\\
0\\
0\\
\end{bmatrix}
$$
とできます。左辺の係数行列について逆行列を求めて両辺に掛けると、
$$
\begin{bmatrix}
X_1(s)\\
X_2(s)\\
X_3(s)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\ff{s}{s^2+2} \\
\ff{s}{s^4+4s^2+2} \\
\ff{s}{(s^4+4s^2+2)(s^2+2)}
\end{bmatrix}
$$
が得られます。これをラプラス逆変換すると目的の連成振動の解が得られます。
まず、$X_1(s)$ のラプラス逆変換については、ラプラス逆変換表を参照することで、
\begin{split}
\L^{-1}[X_1(s)]=\L^{-1}\left[ \ff{s}{s^2+2} \right] =\cos\sqrt{2}t
\end{split}
と求められます。次に、$X_2(s)$ のラプラス逆変換は部分分数分解を駆使することで、このように計算できます。
\begin{split}
\L^{-1}[X_2(s)]&=\L^{-1}\left[ \ff{s}{s^4+4s^2+2} \right] \EE
&=\L^{-1}\left[ \ff{s}{(s^2+2)^2-2} \right] \EE
&=\L^{-1}\left[ \ff{s}{2\sqrt{2}}\left(\ff{1}{s^2+2-\sqrt{2}}-\ff{1}{s^2+2+\sqrt{2}} \right) \right] \EE
&= \ff{1}{2\sqrt{2}}\left\{ \cos\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\,t\right)-\cos\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\,t\right) \right\}
\end{split}
最後に、$X_3(s)$ のラプラス逆変換はこのようになります。
\begin{split}
\L^{-1}[X_3(s)]&=\L^{-1}\left[ \ff{s}{(s^4+4s^2+2)(s^2+2)} \right] \EE
&=\L^{-1}\left[ \ff{s}{4}\left(\ff{1}{s^2+2}-\ff{1}{s^2+2-\sqrt{2}} \right) \right. \EE
&\quad\qquad+\left. \ff{s}{4}\left(\ff{1}{s^2+2}-\ff{1}{s^2+2+\sqrt{2}} \right) \right] \EE
&=\ff{1}{2}\cos\sqrt{2}t-\ff{1}{4}\left\{ \cos\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\,t\right)\right. \EE
&\qquad\quad-\left.\cos\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\,t\right) \right\}
\end{split}
このようにして、ラプラス変換を用いて連成振動の解が計算できます。
