ここまでは、単振動のラプラス変換や減衰振動のラプラス変換、強制振動のラプラス変換を考えてきました。今回は趣向を少し変えて、連立微分方程式のラプラス変換による解法を考えます。
この解法では、ラプラス変換によって連立微分方程式を代数方程式に変換することがポイントとなります。さて、今回解く対象となるのは以下に示す連立微分方程式となります。
$$
\left\{
\begin{split}
&x(t)+ay'(t)=b \EE
&y(t)+cx'(t)=d
\end{split}
\right.
$$
これを解くため、まずは上式のラプラス変換について考えていきます。
連立微分方程式のラプラス変換
ところで、微分方程式についても連立方程式を考えることができます。これは、連立微分方程式と呼ばれ、例えば次の様な式が考えられます。
$$
\left\{
\begin{split}
&x(t)+ay'(t)=b \EE
&y(t)+cx'(t)=d
\end{split}
\right.
$$
このような微分方程式も特性方程式を用いることで解けますが、今回はこれをラプラス変換により解くことを考えます。連立微分方程式をラプラス変換により代数方程式に変換することが、解法のポイントととなります。
上式の例であれば、そのラプラス変換は以下のようにできて、
$$
\left\{
\begin{split}
&\L[x(t)]+\L[ay'(t)]=\L[b]\EE
&\L[y(t)]+\L[cx'(t)]=\L[d]
\end{split}
\right.
$$
変換の結果はラプラス変換表を参照することで、
$$
\left\{
\begin{split}
&X(s)+a\Big(sY(s)-y(0)\Big)=\ff{b}{s}\EE
&Y(s)+c\Big(sX(s)-x(0)\Big)=\ff{d}{s}
\end{split}
\right. \tag{1}
$$
となります。これに初期条件を与えることで、上式の $X(s),Y(s)$ が具体的に解けます。具体的な方法については、次節にて考えていきます。
連立微分方程式のラプラス変換による解法
それでは、式 $(1)$ の解法について説明していきます。まず、以下のように式を整理して、
$$
\left\{
\begin{split}
&X(s)+asY(s)=\ff{b}{s}+ay(0)\EE
&csX(s)+Y(s)=\ff{d}{s}+cx(0)
\end{split}
\right.
$$
ここで $x(0)=\A,y(0)=\beta$ と初期条件を設定し、さらに行列の形にすると、
$$
\begin{bmatrix}
1 & as\\
cs & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X(s)\\
Y(s)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\ff{b}{s}+a\beta\\
\ff{d}{s}+c\A
\end{bmatrix}
$$
とできます。上式に、左辺の係数行列の逆行列を掛けると、
$$
\ff{1}{1-acs^2}
\begin{bmatrix}
1 & -as\\
-cs & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & as\\
cs & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X(s)\\
Y(s)
\end{bmatrix}
=
\ff{1}{1-acs^2}
\begin{bmatrix}
1 & -as\\
-cs & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\ff{b}{s}+a\beta\\
\ff{d}{s}+c\A
\end{bmatrix}
$$
これを計算することで、$X(s),Y(s)$ が
$$
\begin{bmatrix}
X(s)\\
Y(s)
\end{bmatrix}
=
\ff{-1}{ac}\cdot
\ff{1}{s^2-\ff{1}{ac}}
\begin{bmatrix}
a(\beta-d)-ac\A s+\ff{b}{s} \\
c(\A-b)-ac\beta s+\ff{d}{s}
\end{bmatrix}
$$
と求められます。
得られた結果にラプラス逆変換を適用することで、冒頭の連立微分方程式の解 $x(t),y(t)$ が得られます。
例えば、$a=-1,b=1,c=1,d=0,$ $\A=0,\beta=1$ とすると、
$$
\begin{bmatrix}
X(s)\\
Y(s)
\end{bmatrix}
=
\ff{1}{s^2+1}
\begin{bmatrix}
-1+\ff{1}{s} \\
-1+s
\end{bmatrix}
$$
とできて、ラプラス逆変換表を参照しながらラプラス逆変換を実行すると、
$$
\left\{
\begin{split}
&x(t)=1-\sin t-\cos t \EE
&y(t)=-\sin t+\cos t
\end{split}
\right.
$$
と連立微分方程式の解が得られます。
