今回は行列の和・差と積の演算方法について説明します。
$m$ 行 $n$ 列の行列（＝$(m,n)$ 型行列）$A,B$ に対して、$A$ と $B$ の和を以下のように定める。
\begin{eqnarray}
A+B=(a_{ij}+b_{ij})
\end{eqnarray}
ただし、$a_{ij},b_{ij}$ を $A,B$ の成分とする。なお、行列の差を以下のように定める。
\begin{eqnarray}
A-B=(a_{ij}-b_{ij})
\end{eqnarray}
$(m,n)$ 型行列 $A$、$(n,s)$ 型行列 $B$ に対して、$A$ と $B$ の積 $AB$ を以下のように定める。
\begin{split}
AB=(c_{ij})&=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \EE
&=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}\\
\end{split}
ただし、$a_{ij},b_{ij}$ を $A,B$ の成分とする。
これらについて説明する準備として、まずは『行列同士が等しい』という定義について説明を行います。
行列の相等とは？
行列の演算を考えるに当たり、行列同士が等しいこと（＝相等）を定義する必要があります。これ自体はそれほど難しい定義ではなく、次のように定義されます。
$A,B$ が共に $m$ 行 $n$ 列の行列（＝$(m,n)$ 型行列）で、対応する全ての成分が等しいとき、すなわち、
\begin{eqnarray}
&a_{ij}=b_{ij}& \EE
&(i=1,2,\cdots,m;\,\,j=1,2,\cdots,n)&
\end{eqnarray}
のとき、$A$ と $B$ は等しいと言い、$A=B$ と表す。
例えば、
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix},\,\,\,
B=
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 5 \\
2 & 4 & 6
\end{pmatrix}
$$
となるとき、$A=B$ となります。ポイントとしては、全ての要素が等しいときのみ行列は等しいと言えます。一つでも異なる要素があれば、行列は等しくなりません。
行列の和と差とスカラー倍
次に行列の和と差の演算方法について説明します。早速ですが、行列の和と差の演算は以下のように定義されます。
$m$ 行 $n$ 列の行列（＝$(m,n)$ 型行列）$A,B$ に対して、$A$ と $B$ の和を以下のように定める。
\begin{eqnarray}
A+B=(a_{ij}+b_{ij})
\end{eqnarray}
ただし、$a_{ij},b_{ij}$ を $A,B$ の成分とする。なお、行列の差を以下のように定める。
\begin{eqnarray}
A-B=(a_{ij}-b_{ij})
\end{eqnarray}
例えば、
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix},\,\,\,
B=
\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8 \\
5 & 6 & 9
\end{pmatrix}
$$
の時、$A+B$ と $A-B$ は以下のようになります。
$$
\begin{split}
A+B&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8 \\
5 & 6 & 9
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
1+4 & 2+7 & 3+8 \\
4+5 & 5+6 & 6+9
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
5 & 9 & 11 \\
6 & 11 & 15
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
A-B&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}-
\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8 \\
5 & 6 & 9
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
1-4 & 2-7 & 3-8 \\
4-5 & 5-6 & 6-9
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
-3 & -5 & -5 \\
-1 & -1 & -3
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
次に、行列の定数倍について考えます。
行列のスカラー倍
行列のスカラー倍（＝定数倍）は次の様に定義されます。
$m$ 行 $n$ 列の行列（＝$(m,n)$ 型行列）$A$ と数 $k$（スカラー $k$）に対して、$A$ の $k$ 倍を次の様に定める。
\begin{eqnarray}
kA=(ka_{ij})
\end{eqnarray}
ただし、$a_{ij}$ を $A$ の成分とする。
例えば、
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
$$
$k=5$ の時、$5A$ は次の様に計算されます。
$$
\begin{split}
5A&=5
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}\EE
&=\begin{pmatrix}
5\cdot 1 & 5\cdot2 & 5\cdot3 \\
5\cdot4 & 5\cdot5 & 5\cdot6
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
5 & 10 & 15 \\
20 & 25 & 30
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
行列の交換法則と結合法則
行列の和・差ならびにスカラー倍の演算については、次のような法則が成立します。
$(m,n)$ 型行列$A,B,C,O$ と数 $k,h$（スカラー $k,h$）に対して以下が成立する。
\begin{split}
&(1)\quad A+B=B+A\quad(\text{交換法則}) \EE
&(2)\quad (A+B)+C=A+(B+C)\quad(\text{結合法則}) \EE
&(3)\quad A+O=O+A=A \EE
&(4)\quad A+X=O=X+A\,\,\,\text{となる行列}\,X\,\text{が各}\,A\,\text{に対して唯一存在する。} \EE
&(5)\quad k(A+B)=kA+kB \EE
&(6)\quad (k+h)A=kA+hA \EE
&(7)\quad k(hA)=(kh)A \EE
&(8)\quad 1A=A
\end{split}
ただし、$O$ を零行列とする。
行列の積
行列の和・差、スカラー倍ときたので、最後に行列の積の演算方法について説明します。
$(m,n)$ 型行列 $A$、$(n,s)$ 型行列 $B$ に対して、$A$ と $B$ の積 $AB$ を以下のように定める。
\begin{split}
AB=(c_{ij})&=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \EE
&=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}\\
\end{split}
ただし、$a_{ij},b_{ij}$ を $A,B$ の成分とする。
$$
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix},\,\,\,
B=
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
6 & 7 \\
8 & 9
\end{pmatrix}
$$
の時、積 $AB, BA$ は次のように計算できます。
$$
\begin{split}
AB&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
6 & 7 \\
8 & 9
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
1\cdot4+2\cdot6+3\cdot8 & 1\cdot5+2\cdot7+3\cdot9 \\
4\cdot4+5\cdot6+6\cdot8 & 4\cdot5+5\cdot7+6\cdot9
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
40 & 46 \\
94 & 109
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
BA&=
\begin{pmatrix}
4 & 5 \\
6 & 7 \\
8 & 9
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}\EE
&=\begin{pmatrix}
4\cdot1+5\cdot4 & 4\cdot2+5\cdot5 & 4\cdot3+5\cdot6 \\
6\cdot1+7\cdot4 & 6\cdot2+7\cdot5 & 6\cdot3+7\cdot6 \\
8\cdot1+9\cdot4 & 8\cdot2+9\cdot5 & 8\cdot3+9\cdot6
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
24 & 33 & 42 \\
34 & 47 & 60 \\
44 & 61 & 78
\end{pmatrix}
\end{split}
$$
このように、行列の積で新たに生まれた行列は $(m,s)$ 型の行列となります。
可換（交換可能）とは？
上で見たように、行列の積は列の数と行の数が等しいときのみ定義されます。したがって、$AB$ を定義できても、$BA$ が定義できるとは限りません。
また、仮に存在したとしても $AB=BA$ となるとは限りません。このように、行列の積は順序が重要となります。
このように、$AB=BA$ が成立するのはレアなケースであるので、これが成立するときを特別に $A$ と $B$ は交換可能あるいは可換と言います。
二つの行列 $A,B$ に対して $AB=BA$ が成立するとき、$A$ と $B$ は交換可能あるいは可換と言う。
積の結合法則と分配法則
行列の積については以下の法則が成立します。
行列の積について以下が成立する。
\begin{split}
&(1)\quad (AB)C=A(BC)\quad(\text{結合法則}) \EE
&(2)\quad (A+B)C=AC+BC\quad(\text{右分配法則}) \EE
&(3)\quad C(A+B)=CA+CB\quad(\text{左分配法則}) \EE
&(4)\quad (kA)B=A(kB)=k(AB) \EE
\end{split}
