【正則行列とは？】正則行列と逆行列の定義と性質｜線形代数入門③

今回は正則行列と逆行列の定義とその性質について説明します。似た概念として、複素関数論の正則関数と呼ばれるのがありますが、これについてはこちらで説明しています。

正則行列・逆行列とは？

正則行列と逆行列の定義

早速ですが、ある正方行列 $A$ に対して

$$
\left\{
\begin{split}
&AX=E\\
&XA=E
\end{split}
\right.
$$

を同時に満たす正方行列 $X$ が存在するとき、$X$ を $A$ の逆行列と呼び、$A^{-1}$ と表します。なお、$A^{-1}$ は唯一に定まることが知られています。（※ $E$ は単位行列）

また、$A$ が逆行列をもつとき、$A$ は正則行列または正則であると言います。例えば、

$$
A=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
$$

があったとして、$ad-bc\neq 0$ ならば $A$ は正則行列であり、その逆行列 $A^{-1}$ は、

$$
A^{-1}=\ff{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
$$

と表せます。逆行列の具体的な計算方法については今後説明していきます。

正則行列の性質

正則行列は次のような性質を持ちます。

上述のように、$A^{-1}$ から見ると $A$ は逆行列のため $A$ も正則行列と言えます。また、積 $AB$ も正則行列となります。さらに、${}^tA$ についても正則行列となります。これの証明を以下に示します。

$A$ が正則行列であることより、$AA^{-1}=E$ が成立して両辺を転置すると、${}^t(AA^{-1})={}^tE$ となります。これは、転置行列の性質から

\begin{split}
{}^t(AA^{-1})&={}^tE \\
{}^tA\,\,{}^t(A^{-1})&=E
\end{split}

が成立して、これより ${}^tA$ も正則行列であると言えます。それでは、性質 $1\sim 3$ の証明を示していきます。

性質 $(1)$ の証明

$A^{-1}$ にとっての逆行列は $A$ であるので、直ちに $ (A^{-1})^{-1}=A$ が成立します。

性質 $(2)$ の証明

まず、$B^{-1}A^{-1}$ の右から $AB$ を掛けると、積の結合法則より、

\begin{split}
(B^{-1}A^{-1})(AB)&=B^{-1}(A^{-1}A)B \EE
&=B^{-1}EB \EE
&=(B^{-1}E)B \EE
&=B^{-1}B=E
\end{split}

が言えます。また、左から $AB$ の積を行っても同様に $(AB)(B^{-1}A^{-1})=E$ が成立します。以上より、

$$
\left\{
\begin{split}
&(B^{-1}A^{-1})(AB)=E\EE
&(AB)(B^{-1}A^{-1})=E
\end{split}
\right.
$$

が言えます。これより $AB$ が正則であると言えて、$(AB)(AB)^{-1}=E$ が成立します。ゆえに、

\begin{split}
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\end{split}

が示されました。

性質 $(3)$ の証明

上述のように、${}^tA\,\,{}^t(A^{-1})=E$ となり、${}^t(A^{-1}){}^tA=E$ が成立します。これより、${}^tA$ が正則行列であることが言えて、その逆行列が ${}^t(A^{-1})$ となるとも言えます。ゆえに、

\begin{split}
({}^tA)^{-1}={}^t(A^{-1})
\end{split}

が示されました。

直交行列とは？

話は少し変わりますが、${}^tA=A^{-1}$ が成立するとき、$A$ を直交行列と言います。

例えば、回転行列は直交行列となります。実際、

について、$R_{\q}\,{}^tR_{\q},\,\,{}^tR_{\q}R_{\q}$ を計算すると以下のように単位行列となって、

$R_{\q}$ が直交行列となることが言えます。