今回は以下のように定義される置換と互換について説明します。これらは、後に続く行列式を定義する際に役立ちます。
自然数 $1,2,\cdots,n$ から成る集合を $N$ として、$N$ から $N$ への一致一対応 $\phi$ を $N$ の置換あるいは、$n$ 次置換と言う。
このとき、$N$ のある元 $i$ に対して $i$ の $\phi$ による対応を $\phi(i)$ で表す。
すなわち、$1$ を $\phi(1)$ に、$2$ を $\phi(2)$ に $\cdots$ $n$ を $\phi(n)$ にするという意味で、
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\phi(1) & \phi(2) &\cdots & \phi(n)
\end{pmatrix}
$$
と表現する。
二つの元 $i,j$ のみを入れ替えて、その他の元を動かさない操作のことを互換と呼び、$\phi=(i,j)$ で表す。
具体的には次のように表される。
$$
\phi=(i,j)=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & i & \cdots & j & n \\
1 & 2 & \cdots & j & \cdots & i & n \\
\end{pmatrix}
$$
と表現する。
まずは、置換について
置換とは？
置換とは以下のように定義される操作のことです。
自然数 $1,2,\cdots,n$ から成る集合を $N$ として、$N$ から $N$ の上への一対一対応 $\phi$ を $N$ の置換あるいは、$n$ 次置換と言う。
このとき、$N$ のある元 $i$ に対して $i$ の $\phi$ による対応を $\phi(i)$ で表す。
すなわち、$1$ を $\phi(1)$ に、$2$ を $\phi(2)$ に $\cdots$ $n$ を $\phi(n)$ にするという意味で、
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\phi(1) & \phi(2) &\cdots & \phi(n)
\end{pmatrix}
$$
と表現する。
置換の例として、例えば、
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 1
\end{pmatrix}
$$
は置換となりますが、下の例は置換とはなりません。(一対一対応では無いため)
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 4 & 4
\end{pmatrix}
$$
恒等置換と逆置換
次の様に、置換後も同じ数字となる操作のことを、恒等置換と呼びます。具体的には以下のような恒等置換が考えられます。
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{pmatrix}
$$
一方、以下の置換に対して
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
p_1 & p_2 & \cdots & p_n
\end{pmatrix}
$$
上下をひっくり返した以下の置換 $\psi$ を考えます。
$$
\psi=\phi^{-1}
\begin{pmatrix}
p_1 & p_2 & \cdots & p_n \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{pmatrix}
$$
このような置換 $\psi$ のことを、$\phi$ の逆置換と呼び、$\phi^{-1}$ と表現します。
置換の合成とは？
さて、置換 $\phi$ と $\psi$ の置換があったとして、$\phi$ の置換を実行した後、続いて $\psi$ の置換を実行したとき、この置換を $\psi\phi$ と表してこれを置換の合成と言います。例えば、
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
\psi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
$$
のとき、$\psi\phi$ の置換は次の様になります。(右から左に置換を実行することに注意して下さい)
\begin{split}
\psi\phi&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\end{split}
なお、$\psi\phi$ の置換は次のようになり、
\begin{split}
\phi\psi&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix} \EE
&=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{split}
$\phi\psi\neq \psi\phi$ となります。このように、置換の合成は必ずしも一致しません。
互換とは？
置換の中で二つの元 $i,j$ のみを入れ替えて、その他の元を動かさない操作のことを互換と呼びます。
二つの元 $i,j$ のみを入れ替えて、その他の元を動かさない操作のことを互換と呼び、$\phi=(i,j)$ で表す。
一般的な互換は次のように表される。
$$
\phi=(i,j)=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & i & \cdots & j & n \\
1 & 2 & \cdots & j & \cdots & i & n \\
\end{pmatrix}
$$
と表現する。
互換については、
定理１：任意の置換は、いくつかの互換の積として表せる。
定理２：置換を互換の積として表すとき、互換の個数が偶数であるか奇数であるかは、その置換によって一定である。
が成立することが知られています。
sgn(サイン)とは？
置換が偶数個の互換から成るときを偶置換、奇数個の互換から成るときを奇置換と呼びます。
このとき、置換を構成する互換の個数により、置換 $\phi$ の符号 $\RM{sgn}$（サイン:sign）を定めます。
$$
\RM{sgn}\phi=
\left\{
\begin{split}
&1\quad(置換 \phi が偶置換のとき) \EE
&-1\quad(置換 \phi が奇置換のとき)
\end{split}
\right.
$$
例えば次のような置換があるとき、
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3
\end{pmatrix}
$$
これを互換の組み合わせで表現すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3
\end{pmatrix}&=
(3,4)\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 1 & 4
\end{pmatrix} \EE
&=(3,4)(1,3)\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 3 & 4
\end{pmatrix} \EE
&=(3,4)(1,3)(1,2)
\end{split}
となります。これより、$\RM{sgn}\phi=-1$ であることが言えます。
