行列式（$\RM{determinant}$）とは以下の様に定義される計算方法のことです。
$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して、以下の式を行列式と呼ぶ。
\begin{split}
\RM{det}A=|A|=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}a_{2\phi(2)}\cdots a_{n\phi(n)}
\end{split}
ただし、$\RM{sgn} \phi$ を置換 $\phi$ の符号とする。なお、行列式は以下のようにも表記される。
\begin{split}
\RM{det} A,\,\,
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{split}
行列式の定義
冒頭で示したように、行列式（$\RM{determinant}$）は以下のように定義されます。
定義だけでは意味が分からないでしょうから、説明を行っていきます。まず置換 $\phi$ について、
$$
\phi=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\phi(1) & \phi(2) &\cdots & \phi(n)
\end{pmatrix}
$$
と記述できます。$\phi$ の変換で考えられる置換の総数は、$n$ 個の数字の順列の個数と一致するので、$n!$ 個あると言えます。なお、これらの置換の組み合わせを集合 $S_n$ で表します。
ゆえに、$\DL{\sum_{\phi\in S_n}}$ の部分は $n!$ 回計算を繰り返すことを意味します。そして、$\phi$ の符号を掛けてそれらの和を計算します。以上が行列式の計算方法の説明となります。
例えば、$2$ 次正方行列についての行列式は次の様になります。
\begin{split}
|A|&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} \EE
&=\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
1 & 2
\end{pmatrix}a_{11}a_{22}+\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix}a_{12}a_{21}\EE
&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{split}
なお、行列式は、
\begin{split}
\RM{det} A,\,\,
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{split}
のようにも表されます。
サラスの方法とは？
工学的な立場からは、$3$ 次正方行列の行列式の計算が重要となります。この計算は特に重要なため、説明していきます。
さて、$3$ 次正方行列の計算は行列式の定義より以下のようにできます。
\begin{split}
\RM{det} A=|A|&=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \EE
&=\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}a_{11}a_{22}a_{33}+\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1
\end{pmatrix}a_{12}a_{23}a_{31}\EE
&\quad+\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix}a_{13}a_{21}a_{32}+\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1
\end{pmatrix}a_{13}a_{22}a_{31} \EE
&\quad+\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}a_{12}a_{21}a_{33}+
\RM{sgn}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}a_{11}a_{23}a_{32}\EE
&=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}) \EE
&\qquad-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})
\end{split}
これが三次正方行列の計算公式となります。なお、この公式にはサラスの方法という便利な記憶法があります。
その方法とは、下図のように行列式の左上から右下に向かう方向（緑線）を $+$、右上から左下に向かう方向（青線）を $-$ として、それぞれの線上の要素の積を足し合わせていくという記憶法です。
なお、$4$ 次以上の行列式についてはサラスの方法のような便利な記憶方法はありません。
行列式の計算例題
サラスの方法を用いて実際に $3$ 次行列の計算を行っていきます。
例題1：行列 $A$ の行列式を求めよ。
\begin{split}
|A|&=
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 9
\end{vmatrix} \EE
&=(1\cdot4\cdot9+2\cdot6\cdot1+3\cdot3\cdot2 )\\
&\qquad-(3\cdot4\cdot1+6\cdot3\cdot1+9\cdot2\cdot2 ) \EE
&=66-66=0
\end{split}
例題2：行列 $B$ の行列式を求めよ。
\begin{split}
|B|&=
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
6 & 4 & 2 \\
9 & 3 & 1
\end{vmatrix} \EE
&=(1\cdot4\cdot1+2\cdot2\cdot9+3\cdot3\cdot6 )\\
&\qquad-(3\cdot4\cdot9+2\cdot3\cdot1+1\cdot6\cdot2 ) \EE
&=94-126=-32
\end{split}
外積との関係
三次正方行列の公式から分かるように、これは外積の計算方法と一致しています。例えば $\B{a}=(a_1,a_2,a_3),$ $\B{b}=(b_1,b_2,b_3)$ の外積 $\B{a}\times \B{b}$ は次のような行列式として表せます。
\begin{split}
\B{a}\times \B{b}=
\begin{vmatrix}
\B{i} & \B{j} & \B{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
\end{split}
