行列式の性質として特に重要なものを紹介し、また証明も示します。
まずは、転置行列の行列式に関する性質について紹介します。
転置行列の行列式は元の行列の行列式と等しい
最初に紹介する行列式の性質は転置行列に関するものです。転置行列の行列式は次のような性質があります。
上の性質は次の様に証明できます。
【証明】
$A=(a_{ij}),{}^tA=(b_{ij})$ と置くと、$b_{ij}=a_{ji}$ とであるので、${}^tA$ の行列式を考えると、
\begin{split}
\Big|{}^tA\Big|&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot b_{1\phi(1)}b_{2\phi(2)}\cdots a_{n\phi(n)} \EE
&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{\phi(1)1}a_{\phi(2)2}\cdots a_{\phi(n)n}
\end{split}
の等式が成立します。 次に、置換の性質から
\begin{split}
\begin{pmatrix}
\phi(1) & \phi(2) & \cdots & n \\
1 & 2 & \cdots & n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
\phi^{-1}(1) & \phi^{-1}(2) & \cdots & \phi^{-1}(n)
\end{pmatrix}=\phi^{-1}
\end{split}
が言えるので、$\RM{sgn}(\phi^{-1})=\RM{sgn}\phi$ が成立します。ゆえに、
\begin{split}
\Big|{}^tA\Big|&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{\phi(1)1}a_{\phi(2)2}\cdots a_{\phi(n)n} \EE
&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}(\phi^{-1})\cdot a_{1\phi^{-1}(1)}a_{2\phi^{-1}(2)}\cdots a_{n\phi^{-1}(n)}
\end{split}
今、$\psi=\phi^{-1}$ と置き換えると、
\begin{split}
\Big|{}^tA\Big|&=\sum_{\psi\in S_n}\RM{sgn}(\psi)\cdot a_{1\psi(1)}a_{2\psi(2)}\cdots a_{n\psi(n)}\EE
&=|A|
\end{split}
右辺は $A$ の行列式 $|A|$ と一致するので、$\Big|{}^tA\Big|=|A|$ と言えて題意が示されました。
行を入れ替えると行列式の符号が変化する
次に、行あるいは列を入れ替えた場合の行列式の値の変化についてですが、これは次の様に述べられます。
【性質 $1$ の証明】
$i$ 行目を $k$ 倍したとき、その要素は $ka_{i1},ka_{i2},\cdots,ka_{in}$ と表せます。ゆえに、この行列の行列式は次の様にできます。
\begin{split}
&\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}a_{2\phi(2)}\cdots(ka_{i\phi(i)}) \cdots a_{n\phi(n)} \EE
=&k\left( \sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}a_{2\phi(2)}\cdots a_{i\phi(i)} \cdots a_{n\phi(n)} \right) \EE
=& k|A|
\end{split}
これより、題意が示されました。
【性質 $2$ の証明】
第 $i$ 行を行ベクトルの $\B{a}_i$ で表すと、この行列式は次の様にできます。
\begin{split}
\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}’_i+\B{a}^{”}_i \\
\vdots \\
\B{a}_n
\end{vmatrix}&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}\cdots (a’_{i\phi(i)}+a^{”}_{i\phi(i)}) \cdots a_{n\phi(n)} \EE
&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}\cdots a’_{i\phi(i)} \cdots a_{n\phi(n)} \EE
&\qquad+\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}\cdots a^{”}_{i\phi(i)} \cdots a_{n\phi(n)}
=\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}’_i \\
\vdots \\
\B{a}_n
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}^{”}_i \\
\vdots \\
\B{a}_n
\end{vmatrix}
\end{split}
これより題意が示されました。
【性質 $3$ の証明】
行列 $A$ の第 $r$ 行と $s$ 行を入れ替えた行列を $B$ とします。このとき、$b_{rj}=a_{sj},b_{sj}=a_{ij}$ であることに注意すると、$|B|$ を次の様に計算できます。
\begin{split}
|B|=
\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}_s \\
\vdots \\
\B{a}_r\\
\vdots \\
\end{vmatrix}
&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}\cdots a_{s\phi(r)}\cdots a_{r\phi(s)} \cdots a_{n\phi(n)} \EE
&=\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}\cdots a_{r\phi(s)}\cdots a_{s\phi(r)} \cdots a_{n\phi(n)}
\end{split}
ここで、置換 $\phi$ と互換 $(r,s)$ との積を新たな置換 $\psi$ とすると、
\begin{split}
\psi(r)=\phi(s),\,\psi(s)=\phi(r),\,\psi(t)=\phi(t)\,\,(t\neq r,s)
\end{split}
の関係が成り立ちます。さらに、$\RM{sgn}\phi=-\RM{sgn}\psi$ の関係にあるので、上式を
\begin{split}
|B|=-\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\psi\cdot a_{1\psi(1)}\cdots a_{i\psi(i)}\cdots a_{s\psi(s)} \cdots a_{n\phi(n)}=-|A|
\end{split}
とできます。この右辺は、$-|A|$ と一致するので題意が示されました。
２つの行または列が等しい行列式の値は０である
行列式について以下の性質が成立する。
$(1)$：$2$ つの行あるいは列が等しいとき、行列式の値は $0$ となる。
$(2)$：ある行あるいは列の成分が全て $0$ であるとき、行列式の値は $0$ となる。
$(3)$：ある行（または列）に他の行（または列）の定数倍を加えても行列式の値は変わらない。
【性質 $1$ の証明】
行列式 $|A|$ の第 $r$ 行と $s$ 行が等しいとき、これらの行を入れ替えると行列式の符号が変化し、
$$
|A|=-|A|
$$
が成立します。これより、$|A|=0$ が言えて題意が示されました。
【性質 $2$ の証明】
第 $i$ 行の全ての要素が $0$ のとき、行列式の定義より
\begin{split}
|A|=&\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}a_{2\phi(2)}\cdots(a_{i\phi(i)}) \cdots a_{n\phi(n)} \EE
=& \sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}a_{2\phi(2)}\cdots 0 \cdots a_{n\phi(n)} \EE
=& 0
\end{split}
が言えます。これより行の成分が $0$ のとき、行列式の値が $0$ となると言えます。ある列の全ての要素が $0$ である場合も同様の議論から、行列式の値が $0$ となると言えます。これより題意が示されました。
【性質 $3$ の証明】
第 $s$ 行に第 $r$ 行を $k$ 倍したものを加えた行列式を $|B|$ とすると、これは次の様にできます。
\begin{split}
|B|=
\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}_r \\
\vdots \\
\B{a}_s+k\B{a}_r\\
\vdots \\
\end{vmatrix}
&=\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}_r \\
\vdots \\
\B{a}_s\\
\vdots \\
\end{vmatrix}+k
\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}_r \\
\vdots \\
\B{a}_r\\
\vdots \\
\end{vmatrix}
\end{split}
右辺第二項の行列式については、先述の結果より $0$ と言えます。ゆえに、
\begin{split}
|B|
&=\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}_r \\
\vdots \\
\B{a}_s\\
\vdots \\
\end{vmatrix}+k\cdot 0
=\begin{vmatrix}
\B{a}_1 \\
\vdots \\
\B{a}_r \\
\vdots \\
\B{a}_s\\
\vdots \\
\end{vmatrix}
\end{split}
が言えて題意が示されました。
行列の積の行列式
行列 $A,B$ の積の行列式 $|AB|$ について以下が成立する。
$$
|AB|=|A|\cdot |B|
$$
【証明】
行列 $A,B$ の要素を $a_{ij,b{ij}}$ のように表すと、行列の積 $AB$ の行列式 $|AB|$ を次の様に表せます。
\begin{split}
|AB|
&=\begin{vmatrix}
\DL{\sum_{k_1=1}^na_{1k_1}b_{k_1 1}}& \cdots &\DL{\sum_{k_1=1}^na_{1k_1}b_{k_1 n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\DL{\sum_{k_n=1}^na_{nk_n}b_{k_n 1}}& \cdots &\DL{\sum_{k_n=1}^na_{nk_n}b_{k_n n}}
\end{vmatrix}
\end{split}
この行列式について、第二節の定理 $(1)$ を繰り返し適用することで、
\begin{split}
|AB|
&=\sum_{k_1=1}^n\sum_{k_2=1}^n\cdots \sum_{k_n=1}^n a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n} \begin{vmatrix}
b_{k_1 1}& \cdots &b_{k_1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
b_{k_n 1}& \cdots &b_{k_n n}
\end{vmatrix}
\end{split}
とできます。$a_{ij}$ の積に関する右辺は $A$ についての行列式の計算式と一致するので、
\begin{split}
|AB|
&=\sum_{k_1=1}^n\sum_{k_2=1}^n\cdots \sum_{k_n=1}^n a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n} \begin{vmatrix}
b_{k_1 1}& \cdots &b_{k_1 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots\\
b_{k_n 1}& \cdots &b_{k_n n}
\end{vmatrix} \EE
&=|A|\cdots |B|
\end{split}
が導けます。以上より題意が示されました。
