行列式の重要な性質として、以下のようなものがあります。
上三角行列 $U$ の行列式
\begin{split}
|U|=
\begin{vmatrix}
u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\
0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & u_{nn} \\
\end{vmatrix}=u_{11}u_{22}\cdots u_{nn}
\end{split}
下三角行列 $L$ の行列式
\begin{split}
|L|=
\begin{vmatrix}
l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn} \\
\end{vmatrix}
=l_{11}l_{22}\cdots l_{nn}
\end{split}
また、定数倍した行列の行列式について以下が成立します。
一つの要素を除いて行または列が0の場合の行列式
冒頭で示した性質を導く準備として、一つの要素を除いて行または列が $0$ の場合の行列式の性質を見ていきます。結論から示すと、この行列の行列式は次のようになります。
\begin{split}
\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{split}
左辺については行列式の定義より次のように書き下せて、
\begin{split}
\begin{vmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=
\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}a_{2\phi(2)}\cdots a_{n\phi(n)}
\end{split}
今、$j\neq 1$ にて $a_{1j}=0$ のため、
\begin{split}
&\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{1\phi(1)}a_{2\phi(2)}\cdots a_{n\phi(n)} \EE
=&\sum_{\phi\in S_n}\RM{sgn}\phi\cdot a_{11}a_{2\phi(2)}\cdots a_{n\phi(n)} \EE
=&a_{11}\sum_{\phi\in S_n-1}\RM{sgn}\phi’\cdot a_{2\phi(2)}\cdots a_{n\phi(n)}
\end{split}
となって、この結果は
\begin{split}
a_{11}\sum_{\phi\in S_n-1}\RM{sgn}\phi’\cdot a_{2\phi(2)}\cdots a_{n\phi(n)}=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{split}
であることを意味します。同様の計算を行うと、
\begin{split}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{split}
であることも言えるので、最初の性質を示せました。
三角行列の行列式
準備が整ったので、上三角行列 $U$ について、その行列式を考えてみます。
\begin{split}
|U|=
\begin{vmatrix}
u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\
0 & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & u_{nn} \\
\end{vmatrix}
\end{split}
まず、第一行目について考えます。これは、前述の結果を適用することで、
\begin{split}
|U|=u_{11}
\begin{vmatrix}
u_{22} & u_{23} & \cdots & u_{2n} \\
0 & u_{33} & \cdots & u_{3n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & u_{nn} \\
\end{vmatrix}
\end{split}
と言えます。次に、二行目に対しても行列式を考えると同様にして、
\begin{split}
|U|=u_{11}u_{22}
\begin{vmatrix}
u_{33} & u_{34} & \cdots & u_{3n} \\
0 & u_{44} & \cdots & u_{4n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & u_{nn} \\
\end{vmatrix}
\end{split}
とできます。これを連続して適用することで、
\begin{split}
|U|=u_{11}u_{22}\cdots u_{nn}
\end{split}
となることが分かります。
下三角行列 $L$ の行列式 $|L|$ についても同様な計算ができるので、
\begin{split}
|L|=
\begin{vmatrix}
l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
l_{21} & l_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
l_{n1} & l_{n2} & \cdots & l_{nn} \\
\end{vmatrix}
=l_{11}l_{22}\cdots l_{nn}
\end{split}
であることが導けます。このように、三角行列の行列式の値は対角成分の積となることが分かります。
定数倍した行列の行列式
$n$ 次正方行列 $A$ を $k$ 倍した行列 $kA$ の行列式について考えます。
まず、$kA$ の行列式は次の様に表示できて、
\begin{split}
|kA|=
\begin{vmatrix}
ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\
ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ka_{n1} & ka_{n2} & \cdots & ka_{nn} \\
\end{vmatrix}
\end{split}
これの各行に対して、行列式の性質を用いると、
\begin{split}
|kA|=k^n
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
=k^n|A|
\end{split}
となることが示せました。
