行列式を計算する際、余因子展開と呼ばれる手法を用いると便利です。今回は余因子と余因子展開について説明していきます。
$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ において、第 $i$ 行と $j$ 列を取り除いた $n-1$ 次の正方行列を考える。
この行列の行列式を $\widetilde{d}_{ij}$ として、$\widetilde{d}_{ij}$ に符号 $(-1)^{i+j}$ を掛けた
\begin{split}
\widetilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\,\widetilde{d}_{ij}
\end{split}
を行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列の余因子または余因数と呼ぶ。
この余因子を用いると行列式を次の様にも展開できて、これを余因子展開と呼びます。
$n$ 次正方行列 $A$ の行列式 $|A|$ について以下の余因子展開定理が成立する。
\begin{split}
&(1)\,\,|A|=a_{1j}\,\widetilde{a}_{1j}+a_{2j}\,\widetilde{a}_{2j}+\cdots+a_{nj}\,\widetilde{a}_{nj}\,\,\,(j=1,2,\cdots,n)\\[8pt]
&(2)\,\,|A|=a_{i1}\,\widetilde{a}_{i1}+a_{i2}\,\widetilde{a}_{i2}+\cdots+a_{in}\,\widetilde{a}_{in}\,\,\,(i=1,2,\cdots,n)
\end{split}
ただし、$\tilde{a}_{pq}$ を $p$ 行 $q$ 列を除いた余因子とする。
余因子とは？
$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ において、第 $i$ 行と $j$ 列を取り除いた $n-1$ 次の正方行列を考えます。この行列の行列式を $\widetilde{d}_{ij}$ とおくと次の様に表示できます。
\begin{split}
\widetilde{d}_{ij}=
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & \ldots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \ldots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i-1,1} & \ldots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \ldots & a_{i-1, n} \\
a_{i+1,1} & \ldots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \ldots & a_{i+1, n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \ldots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \ldots & a_{n, n}
\end{vmatrix}
\end{split}
そして、これに符号 $(-1)^{i+j}$ を掛けた
\begin{split}
\widetilde{a}_{ij}=(-1)^{i+j}\widetilde{d}_{ij}
\end{split}
のことを行列 $A$ の $i$ 行 $j$ 列のにおける余因子または余因数と言います。
余因子展開とは？
余因子については、以下の余因子展開定理と呼ばれる重要な定理が成立します。
$n$ 次正方行列 $A$ の行列式 $|A|$ について以下の余因子展開定理が成立する。
\begin{split}
&(1)\,\,|A|=a_{1j}\,\widetilde{a}_{1j}+a_{2j}\,\widetilde{a}_{2j}+\cdots+a_{nj}\,\widetilde{a}_{nj}\,\,\,(j=1,2,\cdots,n)\\[8pt]
&(2)\,\,|A|=a_{i1}\,\widetilde{a}_{i1}+a_{i2}\,\widetilde{a}_{i2}+\cdots+a_{in}\,\widetilde{a}_{in}\,\,\,(i=1,2,\cdots,n)
\end{split}
ただし、$\widetilde{a}_{pq}$ を $A$ の $p$ 行 $q$ 列の余因子とする。
余因子展開定理の証明を以下に示します。
【証明】
列に関する余因子展開定理を考えます。まず、$j=1$ として行列式の性質（第２節(2)の性質）から次の様に分解できて、
\begin{split}
|A|=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\
0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}+\cdots +
\begin{vmatrix}
0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
0 & \vdots & \ddots & \ddots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\end{split}
これらの行列式に対して、行を入れ替えた場合の符号の変化と、こちらの結果を適用することで、
\begin{split}
|A|=a_{11}\widetilde{d}_{11}+(-1)a_{21}\widetilde{d}_{21}+\cdots+(-1)^{i-1}a_{i1}\widetilde{d}_{i1}+\cdots+(-1)^{n}a_{n1}\widetilde{d}_{n1}
\end{split}
とできます。今、$(-1)^{i-1}\widetilde{d}_{i1}=(-1)^{i+1}\widetilde{d}_{i1}=\widetilde{a}_{i1}$ となるので、
\begin{split}
|A|=a_{11}\widetilde{a}_{11}+a_{21}\widetilde{a}_{21}+\cdots+a_{i1}\widetilde{a}_{i1}+\cdots+a_{n1}\widetilde{a}_{n1}
\end{split}
が導けます。任意の列（つまり、$j\neq 1$ の場合）についても同様にして
\begin{split}
|A|=a_{1j}\widetilde{a}_{1j}+a_{2j}\widetilde{a}_{2j}+\cdots+a_{nj}\widetilde{a}_{nj}
\end{split}
が言えます。
行に関する余因子展開についても、これと同じ議論を行うことで、
\begin{split}
|A|=a_{i1}\widetilde{a}_{i1}+a_{i2}\widetilde{a}_{i2}+\cdots+a_{in}\widetilde{a}_{in}
\end{split}
であることが言えます。以上より、題意が示されました。
余因子展開の性質
$n$ 次正方行列 $A$ の行列式 $|A|$ について以下が成立する。
\begin{split}
&(1)\,\,|A|=a_{1j}\widetilde{a}_{1t}+a_{2j}\widetilde{a}_{2t}+\cdots+a_{nj}\widetilde{a}_{nt}\,\,\,(t\neq j)\\[8pt]
&(2)\,\,|A|=a_{i1}\widetilde{a}_{s1}+a_{i2}\widetilde{a}_{s2}+\cdots+a_{in}\widetilde{a}_{sn}\,\,\,(s\neq i)
\end{split}
ただし、$\tilde{a_{pq}}$ を $p$ 行 $q$ 列を除いた余因子とする。
【証明】
$\B{a}_p$ を列ベクトルとすると、行列式 $|A|$ を次のように表せます。
\begin{split}
|A|=\Big|\B{a}_1\,\, \cdots\,\,\B{a}_j\,\, \B{a}_t\,\,\cdots\,\,\B{a}_n \Big|
\end{split}
ここで、第 $t$ 列を $j$ 列に置き換えると、行列式の性質（第３節(1)の性質）より
\begin{split}
\Big|\B{a}_1\,\, \cdots\,\,\B{a}_j\,\, \B{a}_j\,\,\cdots\,\,\B{a}_n \Big|=0
\end{split}
となることが言えます。上の行列式については、$a_{pt}=a_{pj}$ となることに注意しながら第 $t$ 列で展開すると
\begin{split}
&\Big|\B{a}_1\,\, \cdots\,\,\B{a}_j\,\, \B{a}_j\,\,\cdots\,\,\B{a}_n \Big|=0\EE
=&a_{1j}\widetilde{a}_{1t}+a_{2j}\widetilde{a}_{2t}+\cdots+a_{nj}\widetilde{a}_{nt}=0
\end{split}
と言えます。行に対しても同様の議論より、
\begin{split}
a_{i1}\widetilde{a}_{s1}+a_{i2}\widetilde{a}_{s2}+\cdots+a_{in}\widetilde{a}_{sn}=0
\end{split}
であることが言えます。以上より、題意が示されました。
