行列式を計算する際、余因子を使うと便利なように、逆行列を計算する際は余因子行列を用いることができます。今回は余因子行列について説明していきます。
$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ において、
その余因子 $\widetilde{a}_{ij}$ を成分とした行列のことを余因子行列 $\widetilde{A}$ と呼び、次の様に表される。
\begin{split}
\widetilde{A}=
\begin{pmatrix}
\widetilde{a}_{11} & \widetilde{a}_{21} & \cdots & \widetilde{a}_{n1} \\
\widetilde{a}_{12} & \widetilde{a}_{22} & \cdots & \widetilde{a}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\widetilde{a}_{1n} & \widetilde{a}_{n2} & \cdots & \widetilde{a}_{nn}
\end{pmatrix}
\end{split}
この余因子行列は、逆行列と次のような関係があります。
余因子行列とは？
早速ですが、余因子行列の定義について説明していきます。
さて、$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ について考えます。このとき、$A$ の余因子を成分として作る、新たな行列のことを余因子行列と呼びます。そして余因子行列は $\widetilde{A}$ のように表現できます。
具体的には、$a_{rs}$ の余因子 $\widetilde{a}_{rs}$ を $(s,r)$ 成分として（行と列を入れ替えていることに注意！）形成した $n$ 次正方行列が余因子行列 $\widetilde{A}$ となります。
\begin{split}
\widetilde{A}=
\begin{pmatrix}
\widetilde{a}_{11} & \widetilde{a}_{21} & \cdots & \widetilde{a}_{n1} \\
\widetilde{a}_{12} & \widetilde{a}_{22} & \cdots & \widetilde{a}_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\widetilde{a}_{1n} & \widetilde{a}_{n2} & \cdots & \widetilde{a}_{nn}
\end{pmatrix}
\end{split}
のように余因子行列が表現されます。
余因子行列と逆行列の関係
冒頭で示したような、余因子行列は逆行列や単位行列と以下のような関係があります。
【証明】
余因子行列 $\widetilde{A}$ の成分を $\A_{ij}$ と表します。このとき、$\A_{ij}=\widetilde{a}_{ji}$ の関係にあります。ここで、$A\widetilde{A}$ を計算すると、次のようにできて
\begin{split}
A\widetilde{A}&=\sum_{k=1}^na_{ik}\A_{kj} \EE
&=\sum_{k=1}^na_{ik}\widetilde{a}_{jk} \EE
\end{split}
\begin{split}
\sum_{k=1}^na_{ik}\widetilde{a}_{jk}=|A|\cdot E_n
\end{split}
が言えます。$\widetilde{A}A$ についても同様に計算して、$\widetilde{A}A=|A|\cdot E_n$ が導けます。そして、$|A|\neq 0$ として、両辺を $|A|$ で割ると、
\begin{split}
A\left( \ff{\widetilde{A}}{|A|} \right)&=\left( \ff{\widetilde{A}}{|A|} \right)A=E_n
\end{split}
とできます。逆行列の定義より、
\begin{split}
A^{-1}=\ff{\widetilde{A}}{|A|}
\end{split}
が得られます。
