今回は掃き出し法と行列の基本変形について説明します。この操作は後に続く階数（$\RM{rank}$）の考え方に応用されます。
まずは、行列の基本変形という操作の説明から始めます。
行列の基本変形とは？
早速ではありますが、行列に対して行う以下の３つの操作のことを行に関する基本変形と呼びます。
行列に対して行う、以下の３つの操作を行列の基本変形と呼ぶ。
$(1)$ 第 $i$ 行（あるいは列）に $0$ でない数 $k$ を掛ける。
$(2)$ 第 $i$ 行（あるいは列）と 第 $j$ 行（あるいは列）を入れ替える。
$(3)$ 第 $i$ 行（あるいは列）に他の 第 $j$ 行（あるいは列）の $k$ 倍を加える。
次節では、行列の基本変形がどのように行列を変化させるのかを説明し、掃き出し法の概要の説明を行います。
掃き出し法とは？
まずは、行列の基本変形により $(m,n)$ 型の行列 $A$ がより簡単な行列 $A’$ になる過程について説明します。
たとえば、$A$ の $(i,j)$ 成分 $a_{ij}$ が $0$ でないとき、この第 $i$ 行全体に $\DL{\ff{1}{a_{ij}}}$ を掛けてやると、$a_{ij}$ が $1$ となった行列 $A’$ ができます。基本変形の過程で行列は次のように変化します。
\begin{split}
A’=
\begin{pmatrix}
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i1}/a_{ij} &\cdots & 1 & \cdots &a_{in}/a_{ij} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\end{pmatrix}
\end{split}
さらに、第 $k$ 行に対して $k$ 行 $+$ 第 $i$ 行 $\times (-a_{kj})$ の基本変形を実施すると、$(k,j)$ 成分を $0$ とできます。この操作を $i$ 行以外の全ての行に対して実行すると、$A’$ は次のような $A^{”}$ に変化します。
\begin{split}
A^{”}=
\begin{pmatrix}
\cdots & 0 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & 1 & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
\cdots & 0 & \cdots \\
\end{pmatrix}
\end{split}
このように $(i,j)$ 成分を $1$ として、それ以外の $j$ 行を $0$ とする一連の操作を、$(i,j)$ 成分を軸として第 $j$ 行を掃き出すと言います。そして、ある行列にの全ての行（または列）に対して行うこのような方法を掃き出し法と呼びます。
掃き出し法の例題
掃き出し法の具体例を以下に示します。
例題１：次の行列 $A$ を掃き出し法により簡単にせよ。
\begin{split}
A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
2 & -2 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & -1 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$(1,1)$ 成分を軸として第 $1$ 例に対して掃き出しを実行すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & -6 & 1 & -1 \\
0 & 3 & 1 & 2 \\
0 & -3 & 3 & -3 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
次に第 $2$ 行を $-6$ で割ると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1/6 & 1/6 \\
0 & 3 & 1 & 2 \\
0 & -3 & 3 & -3 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
今度は $(2,2)$ 成分を軸にして第 $2$ 列の掃き出しを実行すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1/3 & 2/3 \\
0 & 1 & -1/6 & 1/6 \\
0 & 0 & 3/2 & 5/2 \\
0 & 0 & 5/2 & -5/2 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
第 $3$ 行を $2/3$ で割ると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1/3 & 2/3 \\
0 & 1 & -1/6 & 1/6 \\
0 & 0 & 1 & 5/3 \\
0 & 0 & 5/2 & -5/2 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$(3,3)$ 成分を軸として第 $3$ 列の掃き出しを実行すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1/9 \\
0 & 1 & 0 & 4/9 \\
0 & 0 & 1 & 5/3 \\
0 & 0 & 0 & -20/3 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
最後に $(4,4)$ 成分を軸として第 $4$ 列に掃き出し法を実行すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
となります。今回の例では単位行列の形まで綺麗にできました。
例題２：次の行列 $B$ を掃き出し法により簡単にせよ。
\begin{split}
B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
2 & -2 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
$(1,1)$ 成分を軸として第 $1$ 例に対して掃き出しを実行すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & -6 & 1 & -1 \\
0 & 3 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\end{split}
次に第 $2$ 行を $-6$ で割ったのち、$(2,2)$ 成分を軸として第 $2$ に対して掃き出し法を実行すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1/3 & 2/3 \\
0 & 1 & -1/6 & 1/6 \\
0 & 0 & 3/2 & 5/2 \\
\end{pmatrix}
\end{split}
第 $3$ 行を $2/3$ で割ったのち、$(3,3)$ 成分を軸として第 $2$ に対して掃き出し法を実行すると、
\begin{split}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1/3 \\
0 & 1 & 0 & 1/3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{split}
これ以上は掃き出し法を実行できないため、$B$ についての掃き出しはここで終わりとなります。今回のような例は、次回以降に階数（$\RM{rank}$）を考える背景の一つとなります。
