物理数学二次曲線と離心率の関係｜天体の軌道解析の基礎
ケプラーの法則から言えるように、天体力学で扱う天体の軌道は基本的には楕円・放物線・双曲線の二次曲線となります。 今回は天体力学の基礎となる二次曲線を、極方程式で表すことを考えます。結論を示すと、二次曲線は半長径と離心率を用いて次のように表せ...
物理数学
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特殊関数ルジャンドル多項式の定義と性質｜加法定理・直交性とは？
前回、球と球殻の重力ポテンシャルを導出しました。この結果は有用ではありますが、現実の天体に適用するには力不足です。なぜなら、地球などの現実の天体は、遠心力により赤道がわずかに膨らんだ扁平楕円体となっているためです。 扁平楕円体が形成する重力...
物理数学回転行列とオイラー角の関係｜回転行列の導出と三次元空間の回転の表現
今回は、二次元の回転と三次元の回転について考えていきます。 まず、二次元の回転については、以下の回転行列により規定されます。 回転行列とは？ 以下の行列 $R_{\q}$ を（二次元の）回転行列と呼ぶ。 $$R_{\q}=\begin{pm...
物理数学勾配・発散・回転の球座標表示の導出｜ベクトル微分演算子の球座標表示とは？
今回は、勾配（グラディエント）、発散（ダイバージェンス）、回転（ローテーション）の球座標表示を導出していきます。 結論から示すと、これらは次のように表せます。まず、勾配 $\RM{grad}$ の球座標表示は以下のようになります。 勾配（グ...
物理数学単位ベクトルと偏微分演算子の球座標表示｜直交座標と球座標の対応
今回は、単位ベクトルと偏微分演算子の球座標表示について考えます。 結論を示すと、これらは次のように表すことができます。 単位ベクトルの球座標表示 球座標における単位ベクトルをそれぞれ、$\B{e}_r,\B{e}_{\q},\B{e}_{\...
物理数学ストークスの定理とは？｜ベクトル場の回転と線積分の関係
ベクトル場 $\B{F}$ の中に置かれた閉曲線と、その閉曲線に囲まれた面について以下の関係が成立することが知られています。そして、この関係はストークスの定理と呼ばれます。 ストークスの定理 ベクトル場 $\B{F}$ の中に閉曲面 $C$...
ベクトル解析ガウスの発散定理とは？｜面積分と体積分の関係の導出と証明
電磁気学で重要な役割を果たすガウスの法則を理解する準備として、ガウスの発散定理の証明を行っていきます。 ガウスの発散定理とは、ベクトル場に置かれた閉曲面に対する面積分と体積分の関係について述べた定理です。具体的には、次のように述べられます。...
確率・統計学正規分布とは？｜釣り鐘型の連続確率分布とは？
今回は、確率分布で最も基本的な分布である正規分布について説明します。 正規分布とは？ 次の確率密度関数で表される確率分布を正規分布と呼ぶ \begin{split}f(x)=\ff{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\ff{...
確率・統計学平均・分散・標準偏差とは？｜統計学の基本用語の定義について
統計学の基本的な事項である、平均・分散・標準偏差についてその定義と性質を再確認していきます。 まず、平均は次のように定義される統計量のことです。定義から分かるように、母平均と標本平均の二種類が存在していることに注意して下さい。 平均とは？ ...
確率・統計学確率・期待値とは？｜確率・期待値の定義とその計算方法
統計力学の準備として、確率と期待値について確認していきます。 まず、偶然に支配され起こる現象が、どの程度の頻度で起きるのかを表した指標のことを確率と呼びます。数学的には、確率は次のように表されます。 確率とは？ ある試行での全事象が $N$...