物理数学

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ラグランジュの未定乗数法とは?|理論と具体例

ラグランジュの未定乗数法と呼ばれる手法は、ある制約条件の下で対象の関数の極値を求める手法のことです。 物理学の世界では、エネルギーなどの物理量は関数として表現されます。そして、その関数の極値は基本的に最大値または最小値となります。 解析力学...
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フレネル積分の留数定理による導出|留数定理の広義積分への応用②

フレネル積分は次のように定義される広義積分のことで、光学の世界で重要な役割を果たします。 フレネル積分とは? 次の広義積分をフレネル積分と呼ぶ \begin{split}\int_{-\infty}^{\infty}\cos{x^2}\di...
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ガウス積分の留数定理による導出|留数定理の広義積分への応用①

ガウス積分は次のように定義される広義積分のことで、統計の世界では正規分布やガウス分布と呼ばれます。 ガウス積分とは? $a$ を正の実数として次の広義積分をガウス積分と呼ぶ \begin{split}\int_{-\infty}^{\inf...
複素解析

一次分数変換・円円対応とは?|理論と例題【複素解析】

次のような変換を一次分数変換と呼びます。 1次分数関数とは? $a,b,c,d, z$ を複素数とする。 このとき、次の有理関数を一次分数関数と呼び、 \begin{split}w=\ff{az+b}{cz+d}\quad(ad-bc\ne...
複素解析

鏡像・反転とは?|直線と円に関する円の鏡像とは?

流体力学で利用する重要な概念に鏡像があります。鏡像を利用することで、物体周りの流れを数学的に記述できるようになるためです。 鏡像の定義 中心が $O$、半径 $r$ の円 $C$ に関して、$O$ から出る半直線上の2点 $P, Q$ が$...
複素解析

等角写像とは?|等角写像の成立条件・等角写像の例題

等角写像とは、変形の前後で交角の角度が変化しないような写像のことです。今回は、等角写像のイメージと数学的な成立条件について解説します。等角写像の理論は、流体力学にも応用することができます。
複素解析

留数・留数定理とは?|導出と例題【複素解析】【複素関数論】

留数定理とは周回積分に関する次の定理のことです。 留数定理 関数 $f(z)$ が単純閉曲線 $C$ 内に $n$ 個の極(特異点) $\A_1, \cdots, \A_n$ を持つとする。このとき、次式が成立する。 \begin{spli...
複素解析

ローラン展開とは?|特異点周りの級数展開の導出と例題

ローラン展開とは、複素関数についての次のような級数展開のことをいいます。 ローラン展開 関数 $f(z)$ が特異点 $a$ を除いた $|z-a|\leq R$ の領域で正則であるとする。 この領域内にて $f(z)$ は次のようにローラ...
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数列の収束と発散|一様収束・絶対収束・収束半径とは?

有界・絶対収束・収束半径などの用語について解説します。また級数が収束する条件についても解説します。級数を複素数の世界にも拡大したものを複素級数と呼びますが、複素級数と複素関数を結びつけることでより深い世界を知ることができるようになります。
複素解析

グルサの定理・最大値の原理・代数学の基本定理|証明と例題

複素積分の集大成として、グルサの定理、最大値の原理、代数学の基本定理の証明を行います。これらの理論は後に続くローラン展開や留数定理を証明する際の重要な柱となります。