材料力学の目次｜材料の変形と破損の理論

2022.12.032023.07.17

材料力学は材料にある力（応力）が働いたとき、どれだけ材料が伸びたり曲がったりするのかを研究する学問分野です。

材料力学で分析の対象となるのは金属のような固体（弾性体）です。

主な内容として梁の曲げや棒の圧縮・引張・ねじり、熱応力、応力分布などを計算していきます。

材料力学は機械や建物の設計を支え、現代文明を支える縁の下の力持ちのような存在です。

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応力とひずみ
軸力を受ける棒
はりの曲げ
棒のねじり
ひずみエネルギー
主応力
座屈
二次元弾性問題
有限要素法

応力とひずみ

応力とひずみ：材料力学の第一歩

応力・ひずみとは？｜物体に作用する力と変形はどう表せるか？【材料力学】

剛体力学では、物体を変形しないものと考えました。しかし、現実の物体は力が働けば変形します。材料力学は剛体力学では扱えなかった力と物体の変形を考える学問です。今回は、材料力学の学習の第一歩として、応力とひずみという概念を解説します。

フックの法則：材料力学の基礎方程式

フックの法則とは？｜応力とひずみにはどんな関係がある？

材料力学で重要な法則である応力とひずみの関係を表すフックの法則について解説します。応力とひずみを結びつけるフックの法則を使うことで、部材の変形量を計算できるようになります。いよいよ力学が実用を目的とした現実の問題と深く関わってきます。

許容応力と安全率：設計者の心得

許容応力と安全率とは？｜材料力学を学ぶ理由【材料力学】

設計者にとって最も大切なことは、事故が起きないように製品を安全に設計することです。そのため、世界中の設計者は説明書に書いてある使用条件に対して、その製品が安全に使用できるよう十分な余裕を持って設計を行います。この余裕の程度を専門用語で、安全率と呼びます。今回は安全率と許容応力について解説していきます。

ヤング率の測定方法

軸力を受ける棒

軸力・応力とは？

応力・ひずみとは？｜物体に作用する力と変形はどう表せるか？【材料力学】

剛体力学では、物体を変形しないものと考えました。しかし、現実の物体は力が働けば変形します。材料力学は剛体力学では扱えなかった力と物体の変形を考える学問です。今回は、材料力学の学習の第一歩として、応力とひずみという概念を解説します。

棒の静定・不静定問題：材料力学の基本問題

棒の静定・不静定問題の解法｜丁寧な解説による材料力学の基本問題①

棒の変形量をフックの法則を利用して計算する問題は、材料力学で最も基本的な問題の一つです。この記事では、棒が拘束されていない場合の伸びを計算する静定問題と、棒が拘束されている場合の反力を計算する不静定問題を解説します。

熱応力：異種材料の接合はなぜ難しい？

熱応力とは？｜例題と計算方法　材料力学の基本問題⑤【材料力学】

鉄とアルミのような異種材料を接着する場合、問題となるのは熱応力です。この記事では、熱応力が生じる理由とその計算方法について例題を元に解説します。また、線膨張係数と体積膨張率の関係についても解説します。

遠心力による棒の伸び

宇宙エレベータの理論とケーブルに働く応力

宇宙エレベータの理論｜ケーブルに働く応力の計算【材料力学】【天体力学】

宇宙エレベータは地上から静止軌道までを一本のケーブルで結んだ壮大な建造物です。まるで夢物語のような存在ですが、空想上の存在でも物理学であれば検討することができます。今回は宇宙エレベータの理論と、そのケーブルに働く応力を計算してみましょう。

平等強さの棒：理論と形状

平等強さの棒｜等荷重を受ける棒とその形状　バベルの塔と宇宙エレベータ

通常、荷重を受ける棒は断面によって受ける応力が異なります。しかしながら、断面積の形状を工夫することで断面に働く応力を均一にすることができます。このような棒を平等強さの棒と呼びます。今回は平等強さの棒について考えていきましょう。また、平等強さの棒からバベルの塔についても科学的に考察します

平面トラスの問題

平面トラスの問題の解法｜カスティリアノの定理・マトリクス法【材料力学】

２部材から成るトラスの変形量を幾何学的な関係から求める方法と、カスティリアノの定理を利用した二通りの方法について解説します。また、マトリクス法についても解説し、併せて有限要素法についても初歩について概観していきます。

はりの曲げ

せん断応力線図と曲げモーメント線図

せん断力線図と曲げモーメント線図の描き方【材料力学】

梁の曲げの問題を考えるとき、最も基本となるのがせん断力や曲げモーメントを導出することです。せん断応力と曲げモーメントをグラフ化したせん断応力線図と、曲げモーメント線図について解説します。せん断応力線図や曲げモーメント線図を描くことで、スムーズに梁の曲げの問題を解くことができるようになります。

断面二次モーメントの計算例題

断面二次モーメントの定義と計算方法【材料力学】

梁の曲げに対する剛性を定量的に表すパラメータを断面二次モーメントと呼びます。断面二次モーメントが大きくなるほど梁は荷重に対して強くなり、曲げ変形量は小さくなります。今回は断面二次モーメントの定義とその具体的な計算方法について解説します。

たわみ曲線の微分方程式：梁の曲げはどのように表せるか？

たわみ曲線の微分方程式の導出｜梁の曲げはどのように表現できるか？

はりの曲げに関して、たわみ曲線の微分方程式と呼ばれる微分方程式の導出過程を解説します。はりの曲げの計算は、棒の伸びの計算と並んで材料力学において最も基本的な問題です。ただし、はりの曲げの計算には微分方程式の計算が必要になるため難易度は上がります。

片持ち梁の曲げ：材料力学の基本問題②

片持ち梁の曲げの解法｜丁寧な解説による材料力学の基本問題②

材料力学の基本問題として片持ち梁の自由端でのたわみを計算します。はりのたわみは、たわみ曲線の微分方程式から計算でき、今回は微分方程式を利用して計算過程を計算します。材料力学の基本問題として、集中荷重と分散荷重での片持ち梁のたわみを計算します。

単純支持梁の曲げ：材料力学の基本問題③

単純支持梁の曲げの解法｜丁寧な解説による材料力学の基本問題③

材料力学の基本問題として単純支持梁のたわみを計算します。ステップに分け、単純支持梁の曲げの計算過程を丁寧に解説します。単純支持梁のたわみの計算は、片持ち梁のたわみの計算と並び、材料力学では基本問題になります。

はりの不静定問題：材料力学の基本問題④

梁の不静定問題の解法｜丁寧な解説による材料力学の基本問題④

一端支持他端固定はりを例にはりの不静定問題を扱います。一端支持他端固定はりの曲げの計算過程を手順に従って丁寧に解説します。不静定問題は静定問題に比べて問題の難易度が上がるため、丁寧な計算が必要になります。また、微分方程式による解法に加えて、重ね合わせ法による解法も解説します。

支持方法と曲げ変形量のまとめ

複雑形状の曲げと伸び

複雑形状の曲げと伸び変形量｜トラスの変形量の計算方法【材料力学】

棒やはりのような基本的な形状の部材についての伸びや曲げについては既に学びました。では、L字型やトラスのような複雑形状での伸びや曲げはどのように計算できるでしょうか？今回は複雑な形状の部材に関する曲げや伸びについての計算方法を解説します。

平面トラスの問題

平面トラスの問題の解法｜カスティリアノの定理・マトリクス法【材料力学】

２部材から成るトラスの変形量を幾何学的な関係から求める方法と、カスティリアノの定理を利用した二通りの方法について解説します。また、マトリクス法についても解説し、併せて有限要素法についても初歩について概観していきます。

平等強さのはり

重ね板ばね

棒のねじり

棒のねじり：断面二次極モーメントの定義・ねじり角の計算例題

棒のねじり｜ねじり角の理論と例題【材料力学】

棒の両端を持ってねじるとどんなことが起きるでしょうか？ねじりによって棒にどんな変形が起きるのかを材料力学を使い分析しましょう。棒のねじりによって生じる変形についての材料力学に基づく理論的解説と、円柱棒とテーパ付きの棒のねじりについての例題を解説します。

円形断面でない棒のねじり

ばね定数の導出　ばね定数の正体とは？

ばね定数の導出｜ばね定数の正体とは？【材料力学】

高校物理や大学入試の場面で良く出てくるばね定数ですが、実はこのばね定数、ばねの素線の太さ、ばねの平均径、巻き数などによって変わる物理量なのです。今回は材料力学の知識に基づいたばね定数の導出過程について解説します。

トルクと馬力の関係

ねじりの例題

ひずみエネルギー

ひずみエネルギとは？　定義と計算方法

ひずみエネルギーとは？｜定義と計算方法【材料力学】

材料力学では部材の変形によるひずみによって生じたエネルギーをひずみエネルギーと呼びます。ひずみエネルギーとカスティリアノの定理を組み合わせることで、煩雑な計算が必要であった部材の変形量を簡単に求められるようになるのです。

カスティリアノの定理

カスティリアノの定理　理論と例題【材料力学】

弾性体に外力を加えると弾性体にはひずみが生じ、弾性体にはひずみエネルギーと呼ばれるエネルギーが蓄えられます。このように弾性体の変形とひずみエネルギーの間には相関関係があるのです。逆に言うと、ひずみエネルギーの大きさが分かれば変形量が求められるのです。

衝撃荷重

衝撃荷重の理論と導出｜衝突の瞬間に何が起きる？【材料力学】

落下してきた物体が衝突すると、その物体を受け止めた部材には落下物体の重量以上の荷重が働きます。この荷重のことを材料力学では衝撃荷重と呼びます。今回は、衝撃荷重に関する理論とその導出過程について具体的に解説していきます。いかほどの衝撃が働くのでしょうか？

主応力

二次元主応力とは？

二次元主応力とは？｜二次元主応力と主せん断応力の導出【材料力学】

物体に働く応力には垂直応力やせん断応力などがあります。しかし、垂直応力やせん断応力には不思議な性質があります。それは、応力の大きさが考える断面により変わるということです。今回は、垂直応力やせん断応力が最大となる主応力と最大せん断応力の導出方法について解説します。

モールの応力円

モールの応力円｜理論と例題　主応力と最大せん断応力の求め方【材料力学】

二次元平面に応力やせん断力が働いているとき、二次元主応力を計算することができます。しかし、具体的に主応力面の位置を計算するのは面倒で視覚的にも分かりずらいという問題点があります。これらの問題点を解決するツールとして、モールの応力円というものがあります。

三次元主応力

三次元主応力とは？｜主応力・平均垂直応力・偏差応力の導出【材料力学】

物体に力が作用するとき、方向によりせん断力がゼロになる面が存在します。この面を主応力面と呼び、そのときの垂直応力を主応力と呼びます。二次元の場合、二次元主応力と呼び三次元の場合、三次元主応力と呼びます。今回は三次元主応力について導出します。

モールの応力円と断層

弾性破損

弾性破損とは？｜最大主応力説・最大せん断応力説・せん断ひずみエネルギー説

物体はどのようなメカニズムで破損あるいは破壊に至るのでしょうか？今回は弾性材料が破損する仮説として代表的な最大主応力説、最大せん断応力説、せん断ひずみエネルギー説について解説します。

フォンミーゼス応力

サンブナンの原理

座屈

柱の座屈の理論：オイラーの座屈理論

オイラーの座屈理論とは？｜【柱の座屈問題の例題と実験式】

長い柱に対して軸圧縮荷重を作用させると柱にたわみが生じます。材料力学ではこの現象を座屈と呼びます。オイラーの座屈理論に基づき、オイラーの座屈荷重ならびに臨界座屈荷重について解説します。また、座屈の実験式についても紹介します。

座屈問題の例題

偏心荷重を受ける柱の座屈

二次元弾性問題

内圧を受ける薄肉円筒：フープ応力の計算

内圧を受ける薄肉円筒と組み合わせ円筒のフープ応力の計算【材料力学】

都市には無数の配管が張り巡らされています。これらの配管が破損しないよう、配管の肉厚を適切に設計する必要があります。今回は、配管をモデル化した薄肉円筒に働くフープ応力や変形を材料力学の理論を用いて計算していきます。

平面ひずみと平面応力

平面ひずみ問題と平面応力問題｜三次元問題の二次元問題への近似

三次元の弾性体に作用する応力の状態やひずみ変形は複雑なため、その様子を正確に計算することは難しいという問題があります。そのため、簡単に計算できる二次元の状態に問題を近似することが重要になります。今回はその手法として良く用いられる平面ひずみと平面応力について解説します。

ひずみの適合条件式とは？：理論と導出

ひずみと応力の適合方程式の導出｜Airyの応力関数導出の準備

ナビエの微分方程式は平衡方程式とフックの法則より導出される方程式で、変位と弾性体に作用する力に関しての方程式です。しかしながら、変位が３つであるのに対してひずみは６つあるため、ひずみは一つに定まらないという問題点があります。そのため、ひずみが完全に定まるように適合条件式を導出する必要があるのです。

平面問題の基礎方程式

Airyの応力関数

Airyの応力関数の導出と応用｜応力分布を計算する新兵器

平衡方程式から適合条件式が導けましたが、今回はその適合条件式からAiryの応力関数を導出します。今まで学んだ材料力学の知識を総動員してAiryの応力関数の導出を行います。また、Airyの応力関数を利用した梁の曲げについての例題についても解説します。

平面問題の極座標表示と複素数表示

切り欠きと円孔周りの応力分布

有限要素法

ナビエの方程式

ナビエの方程式の導出｜変位と応力の微分方程式とは？

これまでの材料力学の問題では変形を伸び、曲げ、ねじりに分類してそれぞれに対して変形量を個別に解いて行きました。しかし、一般の変形はこれらの変形が組み合わさったものであり、きっちりと分類して計算できるものではありません。今回は材料の変形について一般的に成立するナビエの方程式を導出していきます。

平面トラスの問題

平面トラスの問題の解法｜カスティリアノの定理・マトリクス法【材料力学】

２部材から成るトラスの変形量を幾何学的な関係から求める方法と、カスティリアノの定理を利用した二通りの方法について解説します。また、マトリクス法についても解説し、併せて有限要素法についても初歩について概観していきます。

弾性基礎式

仮想仕事の原理

剛性マトリックスと境界条件

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