突然ですが、左の車輪と右の車輪どちらの車輪の方が回しにくいでしょうか？（質量は同じとします）
実際に検証してみれば、直径の大きい左の車輪の方が回しにくく感じるはずです。
この記事では、慣性モーメントの定義と計算方法を解説し、運動方程式での利用例を紹介します。
慣性モーメントの導出過程や物理的意味についてはこちらで解説します。
慣性モーメントの定義
慣性モーメントとは、『物体の回転させにくさ』を表した物理量です。
剛体のように質量が空間に連続的に分布している物体を考えるとき、並進運動に加えて回転運動も考えなければなりません。回転運動を考える際、慣性モーメントは必要になります。
実用的には、慣性モーメントは歯車などの回転部品を設計する際に重要なパラメータとなります。まずは、慣性モーメントの定義から見ていきます。
物体内の微小部分の重心からの距離を$r$、その位置での密度を$\rho (r)$とする。
このとき、慣性モーメント $I$ は次のように定義される。
\begin{eqnarray}
I &=& \int_V \rho (\B{r})r^2 \diff V \EE
&=& \iiint \rho(x,y,z)(x^2 + y^2 + z^2) \diff x \diff y \diff z \EE
\,
\end{eqnarray}
様々な形状の慣性モーメント
様々な形状の慣性モーメントを以下に示します。ただし、物体の重心を通る軸で回転させた場合の慣性モーメントであることに注意してください。
| 慣性モーメント | |
 | $$ I = \ff{1}{2}MR^2 $$ |
 | $$ I = \ff{1}{2}M(R_1^2+R_2^2) $$ |
 | $$ I = \ff{2}{5}MR^2 $$ |
 | $$ I = \ff{1}{12}M(a^2+b^2) $$ |
※任意の向きの軸で回転させた場合、慣性モーメントの計算結果は表とは異なる値になります。一般の場合での慣性モーメントについてはこちらで詳しく解説します。
慣性モーメントの計算例
慣性モーメントを実際に計算しましょう。
円盤
円盤の慣性モーメントを計算します。今、円盤の重心を通り面に垂直な方向に$z$軸をとり、$z$ 軸を回転軸とします。また、密度は一定とします。
このとき、密度$\rho$は、
\begin{eqnarray}
\rho = \ff{M}{\pi R^2 d} \EE
\end{eqnarray}
と表せます。
デカルト座標系で計算を実行するのは面倒なため、極座標系で計算を行います。
すると、$\D{m}$ を、$\rho r \diff \theta \diff r \diff z$ と表せます。
さて、慣性モーメントの定義より、円盤の慣性モーメントを次のように求められます。
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^d \int_0^{2\pi} \int_0^R \rho r^3 \,\diff r \diff \theta \diff z \EE
&=& \int_0^d \int_0^{2\pi} \ff{1}{4}\rho R^4 \,\diff \theta \diff z \EE
&=& \int_0^d \ff{1}{2}\rho\pi R^4 \diff z \EE
&=& \ff{1}{2}\rho\pi R^4 d = \ff{1}{2}\ff{M}{\pi R^2 d}\cdot \pi R^4 d \EE
\therefore I &=& \ff{1}{2}MR^2
\end{eqnarray}
円筒
次に円筒の慣性モーメントを計算します。円盤と同様に回転軸を設定します。
ただし、密度$\rho$は、
\begin{eqnarray}
\rho = \ff{M}{\pi (R_2^2 \,-\, R_1^2) d} \EE
\end{eqnarray}
となります。
先ほどと同様、極座標にて慣性モーメントを求めます。定義より、円筒の慣性モーメントは、
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^d \int_0^{2\pi} \int_{R_1}^{R_2} \rho r^3 \,\diff r \diff \theta \diff z \EE
&=& \ff{1}{2}\rho\pi (R_2^4 \,-\, R_1^4) d \EE
&=& \ff{1}{2}\ff{M}{\pi (R_2^2 \,-\, R_1^2) d}\cdot \pi (R_2^4 \,-\, R_1^4) d \EE
\therefore I &=& \ff{1}{2}M(R_1^2 + R_2^2)
\end{eqnarray}
と求められます。
球
球の慣性モーメントを計算します。球の重心を通るよう、図のように回転軸を取ります。
密度$\rho$は、
\begin{eqnarray}
\rho = \ff{3M}{4\pi R^3} \EE
\end{eqnarray}
となります。極座標にて球の微小部分を図示すると次のようになります。
図から、$\diff m = \rho \diff V = \rho r^2 \sin \theta \diff r \diff \theta \diff \phi$ となります。
従って、球の慣性モーメントは、
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R \rho r^4 \sin^3 \theta \,\diff r \diff \theta \diff \phi \EE
&=& \ff{1}{5}R^5 \rho \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \sin^3 \theta \,\diff \theta \diff \phi \EE
&=& \ff{1}{5}R^5 \rho \cdot \ff{4}{3} \int_0^{2\pi} \,\diff \phi \EE
&=& \ff{1}{5}R^5\cdot\left( \ff{8\pi}{3}\cdot\ff{3M}{4\pi R^3} \right) \EE
\therefore I &=& \ff{2}{3}MR^2
\end{eqnarray}
と求められます。
板
板の慣性モーメントを計算します。板の重心を通るよう、図のような回転軸を取ります。
また、密度$\rho$は、
\begin{eqnarray}
\rho = \ff{M}{abd} \EE
\end{eqnarray}
となります。
今回は、デカルト座標系で慣性モーメントを計算します。
まず、回転軸に垂直な断面での微小要素を考えると、
となり、定義より板の慣性モーメントは、
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^d \int_{b/2}^{-b/2} \int_{a/2}^{-a/2} \rho (x^2+y^2) \,\diff x \diff y \diff z \EE
&=& \int_0^d \int_{b/2}^{-b/2} \rho (\ff{a^3}{12}+y^2) \,\diff y \diff z \EE
&=& \int_0^d \rho (\ff{a^3}{12}+\ff{b^3}{12}) \,\diff y \diff z \EE
&=& \rho (\ff{a^3}{12}+\ff{b^3}{12})d \EE
&=& \ff{M}{abd}\cdot(\ff{a^3}{12}+\ff{b^3}{12})d \EE
\therefore I &=& \ff{1}{12}M(a^2 + b^2)
\end{eqnarray}
と求められます。
剛体の運動方程式
剛体の運動は、一般に並進運動と回転運動に分解できます。そして、慣性モーメントは回転運動に深く関わる物理量です。
なぜ、こう断言できるのか？については、こちらで解説しています。今回は、斜面を転がり落ちる剛体球と重さを考慮した滑車を例に運動方程式での慣性モーメントの使用方法を見ていきます。
斜面を転がる剛体球
角度 $\alpha$ の坂を半径$R$、質量 $m$ の剛体球が滑らずに転がり落ちている状況を考えます。重力加速度を $g$ で表すことは暗黙の了解とします。
斜面に平行な方向を $x$ 軸、垂直方向を $y$ 軸、球の回転方向を $\theta$ の正方向とします。
並進運動は、剛体の重心に全質量と力が集中しているとして計算でき、そのまま質点の運動方程式を使えます。
重心の運動方程式は次のようになります。
\begin{eqnarray}
m\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} &=& mg \sin \alpha \,-\, F \tag{1}\EE
m\ff{\diff^2 y}{\diff t^2} &=& -mg \cos \alpha \EE
\end{eqnarray}
剛体の回転運動は慣性モーメントとモーメントから計算できます。
回転の運動方程式は次のように表せます。
\begin{eqnarray}
I\ff{\diff^2 \theta}{\diff t^2} &=& FR \EE
\end{eqnarray}
$x = R\theta$ であるため、
\begin{eqnarray}
\ff{I}{R}\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} &=& FR \EE
\ff{I}{R^2}\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} &=& R \tag{2}
\end{eqnarray}
となります。
※剛体球は回転していないため、$F$ は静止摩擦力となります。
式(1)、式(2)から、
\begin{eqnarray}
m\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} &=& mg \sin \alpha \,-\, F \EE
&=& mg \sin \alpha \,-\, \ff{I}{R^2}\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} \EE
\left( m + \ff{I}{R^2} \right) &=& mg \sin \alpha
\end{eqnarray}
となります。今、球の慣性モーメントは $\DL{\ff{2}{5}mR^2}$ であるため、剛体球の加速度 $a$ は
\begin{eqnarray}
\left( m + \ff{I}{R^2} \right) &=& mg \sin \alpha \EE
\ff{7}{5}m\ff{\diff^2 x}{\diff t^2} &=& mg \sin \alpha \EE
\therefore a &=& \ff{5}{7}g\sin \alpha
\end{eqnarray}
と求められます。
重さを考慮した滑車
高校物理の教科書や参考書には、滑車の問題に対して「ただし、滑車の重さは無視する」という定型文が挿入されていました。今回は滑車の重さが物体の運動にどう影響を及ぼすのかを見ていきます。
前提として半径 $R$、質量 $M$ の滑車に質量 $m_1, m_2$ の錘が吊り下げれているとします。
この時の錘 $m_1$ の加速度 $\alpha_1$ を求めましょう。
まず、それぞれの錘の運動方程式は、
\begin{eqnarray}
m_1\alpha_1 &=& m_1\ff{\diff^2 x_1 }{\diff t^2} = T_1 \,-\, m_1 g \EE
m_2\alpha_2 &=& m_2\ff{\diff^2 x_2 }{\diff t^2} = T_2 \,-\, m_2 g \EE
\end{eqnarray}
と表せます。
次に滑車の運動方程式は、滑車は並進運動せず、回転運動をしているため、
\begin{eqnarray}
I\ff{\diff^2 \theta}{\diff t^2} &=& \ff{1}{2}MR^2\ff{\diff^2 \theta}{\diff t^2} \EE
&=& (T_1 \,-\, T_2)R
\end{eqnarray}
と表せます。
今、錘をつなぐひもの長さは一定なので、左右の錘の加速度の絶対値は同じです。また、錘の移動した距離 $x$ と滑車の回転した角度 $\theta$ との間には、$x = R\theta$ の関係があるので、
\begin{eqnarray}
\ff{\diff^2 x_1}{\diff t^2} &=& -\ff{\diff^2 x_2}{\diff t^2} \EE
R\ff{\diff^2 \theta}{\diff t^2} &=& \ff{\diff^2 x_1}{\diff t^2} \EE
\end{eqnarray}
という関係式を導けます。
それぞれの式から、$T_1, T_2$ を消去すると、
\begin{eqnarray}
\alpha_1 &=& \ff{(m_1 \,-\, m_2)g}{m_1 + m_2 + \ff{1}{2}M}
\end{eqnarray}
となり、錘の加速度 $\A_1$ を計算できました。
平行軸の定理
慣性モーメントを計算する際に便利な平行軸の定理について解説し、今回の締めとします。
平行軸の定理とは、重心を通る回転軸から平行に $d$ だけ離れた回転軸回りの慣性モーメント $I$ が、次にように計算できるという定理です。
物体の質量を $M$、重心回りの慣性モーメントを $I_G$ とする。
このとき、重心を通る回転軸から平行に $d$ だけ離れた回転軸回りの慣性モーメントは次のように求めらる。
\begin{eqnarray}
I = I_G + Md^2 \EE
\,
\end{eqnarray}
平行軸の定理の証明します。
重心の座標を$(0, 0)$、回転中心の座標を$(x_c, y_c)$として、$(x, y) = (x_c + x’, y_c+y’)$の関係にあるとします。（重心を原点に取っても一般性は失われません）
今、慣性モーメントの定義から、
\begin{eqnarray}
I &=& \int r^2 \rho(\B{r})\diff V \EE
&=& \int (x’^2+y’^2) \diff m \EE
&=& \int \left\{ (x \,-\, x_c)^2 + (y \,-\, y_c)^2 \right\} \diff m \EE
&=& \int \left\{ (x^2 + y^2) \,-\, 2(xx_c + yy_c) + (x_c^2 + y_c^2) \right\} \diff m \EE
I &=& \int (x^2 + y^2) \diff m \,-\, 2\left( \int xx_c \diff m + \int yy_c \diff m \right) + \int (x_c^2 + y_c^2) \diff m
\end{eqnarray}
となります。
右辺第一項は重心回りの慣性モーメント $I_G$ と一致し、右辺第三項に関しては、$x_c^2 + y_c^2 = d^2$ であるため、$\DL{\int (x_c^2 + y_c^2) \diff m = d^2\int \diff m = Md^2}$となります。
次に、右辺第二項に関して考えていきましょう。
ところで、物体の重心の座標$(x_G, y_G)$は、以下の公式から求められます。
\begin{eqnarray}
x_G &=& \ff{\int x\diff m}{\int \diff m} = \ff{\int x\diff m}{M} \EE\EE
y_G &=& \ff{\int y\diff m}{\int \diff m} = \ff{\int y\diff m}{M} \EE
\,
\end{eqnarray}
高校物理で学んだ重心の公式 $\DL{x_G = \ff{x_1 m_1 + x_2 m_2}{m_1 + m_2}}$ からの類推で何となく理解できると思います。
重心の公式より、右辺第二項に関して、
\begin{align}
&x_c\int x \diff m + y_c\int y \diff m \EE
=\, &x_c\, Mx_G + y_c\, My_G \EE
=\, &0
\end{align}
であることが分かります。
重心を原点に取っているため（$x_G=y_G=0$）、上式は$0$となります。
以上より、
\begin{eqnarray}
I &=& \int (x’^2+y’^2) \diff m \EE
&=& I_G + Md^2
\end{eqnarray}
となり、平行軸の定理を証明できました。
慣性モーメントの導出過程についてはこちらで解説しています。
