複素数を関数に拡張したものを複素関数と呼びます。そして、複素関数の性質を調べる分野のことを複素関数論や複素解析と呼びます。複素関数論の奥深い世界について探求していきます。
複素数とその性質
虚数・複素数とは？
複素解析の世界について考え始める前に、複素数について理解する必要があります。
複素解析の全ての基礎となる、虚数・複素数についてはこちらで解説しています。
複素平面と極形式
複素数と座標平面での対応関係は、複素平面にて表せます。
また、複素数を複素平面上にプロットすることで、極形式による表現を理解しやすくなります。
複素平面と極形式についての詳しい解説はこちらで行っています。
複素数と図形
複素平面上の円と直線
数ある図形の中でも円と直線は最も単純な部類です。
そこで、複素平面上で円と直線を表す方法について考えることにします。
複素平面上での円と直線の表示法にいてはこちらで解説しています。
合成変換
複素平面上で図形を拡大や縮小・回転させる方法について考えます。
このような変換方法は合成変換と呼ばれます。詳しくは、こちらで解説しています。
複素平面の変換とリーマン球面
複素数平面上の図形を、ある平面からある平面に変換する操作を視覚的に表現する方法を開発することは、直感的な複素関数の理解に役立ちます。
ここでは、複素平面の変換方法の一例と、リーマン球面について見ていきます。詳しくはこちらで解説しています。
複素関数とは？
複素関数とは？
複素数を変数に持つ関数を複素関数と呼びます。複素関数についてはこちらで解説しています。
複素対数関数とは？
複素関数の世界での対数関数はどのようになるのでしょうか？複素対数関数については、こちらで解説しています。
複素三角関数とは？
複素対数関数に引き続き、複素数の世界での三角関数、複素三角関数について考えます。複素三角関数については、こちらで解説しています。
複素関数の微分
複素関数の極限
複素関数の微分を考察する準備として、複素関数の極限について考えます。詳しくは、こちらで解説しています。
複素関数の微分公式
複素関数の微分公式について解説します。くわしくはこちらで解説しています。
コーシー・リーマンの方程式
複素関数の微分を行うためには、複素関数が正則である必要があります。さて、複素関数が正則であるかを判定する条件が存在し、この条件はコーシー・リーマンの方程式と呼ばれます。
コーシー・リーマンの方程式については、こちらで解説しています。
複素関数の積分
複素線積分
複素関数に対しても積分が計算できます。複素関数の積分は複素線積分と呼ばれます。
コーシーの積分定理
複素線積分は興味深い特徴を持っています。詳しくはコーシーの積分定理にて紹介しています。
コーシーの積分公式
コーシーの積分定理から、さらにコーシーの積分公式を導くことができます。
グルサの定理
コーシーの積分公式を利用することで、さらにグルサの公式を導くことができます。
展開と留数
ローラン展開
特異点をその領域内に含む複素関数を級数展開する方法について考えます。この級数展開の手法はローラン展開と呼ばれます。
留数定理
複素関数論の一つの到達点が留数定理です。
複素関数論と幾何学
鏡像
複素数を幾何学に応用することを考えます。その一歩目として、鏡像について説明します。鏡像は流体力学に応用されます。
一次分数変換
等角写像
等角写像とは図形の角度を保ったまま別の図形に変形させる手法のことです。以下の記事で詳しく解説しています。
