複素関数がコーシーリーマンの方程式を満たすとき、その関数は正則であると言えます。
今回は、コーシー・リーマンの方程式について解説し、正則関数の判定条件についても解説します。
また、コーシー・リーマンの方程式を利用した複素関数の微分公式についても解説します。
コーシー・リーマンの方程式とは？
まずはコーシー・リーマンの方程式（$C-R$ 方程式）について紹介します。
コーシー・リーマンの方程式は次のような一連の方程式のことです。
方程式の内容について解説します。
まず、複素関数が $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ のように２変数関数の和として表現される理由について解説します。
たとえば、$f(z)=z^2$ という複素関数があったとして、$z=x+iy$ とすると、
\begin{split}
z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i2xy
\end{split}
とできます。これより、複素関数は自然と $x,y$ の２変数関数として表されることがわかります。
このように、複素関数は２変数関数 $u,v$ を用いて表されるわけですが、$f(z)$ が正則関数であるとすると、$u,v$ には、偏微分可能で、その偏導関数も連続であるという条件が追加で課されることになります。
つまり、『$f(z)$ が定義域 $D$ で正則』$\Rightarrow$『コーシー・リーマンの方程式を満たす』という関係が成り立つといえます。
$z^2$ を正則関数と認めて、コーシー・リーマンの方程式に当てはめると、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,\ff{\del u}{\del x}=2x=\ff{\del v}{\del y}\EE
&\,\ff{\del v}{\del x}=2y=-\ff{\del u}{\del y}
\end{split}
\right.
$$
となり、たしかにコーシー・リーマンの方程式を満たすことが分かります。
コーシー・リーマンの方程式の証明
『$f(z)$ が正則』$\Rightarrow$『コーシー・リーマンの方程式を満たす』の証明を示します。（必要条件）
また、『コーシー・リーマンの方程式を満たす』$\Rightarrow$『$f(z)$ が正則』（十分条件）であることを証明し、実はコーシー・リーマンの方程式を満たすことが正則関数であることの必要十分条件であることを確認します。
必要条件の証明
まず、『$f(z)$ が正則』$\Rightarrow$『コーシー・リーマンの方程式を満たす』について証明します。
今、定義域 $D$ にて $f(z)$ が正則であることから、$D$ 内の任意の点 $z$ で以下の極限値が収束すると言えます。
\begin{split}
f'(z)=\lim_{\D z\to 0} \ff{f(z+\D z)-f(z)}{\D z}
\end{split}
ここで、$x,y, \D x, \D y$ を実数とすると、$z=x+iy$, $\D z=\D x+i\D y$ とできるので、上式は、
\begin{split}
f'(x,y)=\lim_{(\D x, \D y)\to 0} \ff{f(x+\D x, y+\D y)-f(x,y)}{\D x+i\D y}
\end{split}
と変形できます。
また、$f(z)$ は正則であるので、$\D z\to 0$ の近づけ方に関わらず $f'(z)$ は収束すると言えます。
したがって、$\D x=0, \D y\to 0$ と $\D x\to0, \D y=0$ という２つのパターンでの結果が一致しなければなりません。
つまり、次のように、二つの式を等号で結べます。
\begin{split}
\lim_{\D x\to 0} \ff{f(x+\D x, y)-f(x,y)}{\D x}=\lim_{\D y\to 0} \ff{f(x, y+\D y)-f(x,y)}{i\D y}
\end{split}
さらに、$f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ であり、$f$ が正則であることから、$u,v$ は偏微分可能であると言えます。
まず、左辺に関しては、偏微分を用いて次のように表せます。
\begin{split}
&\lim_{\D x\to 0} \ff{f(x+\D x, y)-f(x,y)}{\D x}\\[6pt]
=&\lim_{\D x\to 0} \ff{u(x+\D x, y)+iv(x+\D x, y)-u(x,y)-iv(x,y)}{\D x} \\[6pt]
=&\lim_{\D x\to 0} \ff{u(x+\D x, y)-u(x,y)}{\D x}+i\lim_{\D x\to 0} \ff{v(x+\D x, y)-v(x,y)}{\D x} \\[6pt]
=&\ff{\del u}{\del x}+i\ff{\del v}{\del x}
\end{split}
次に、右辺に関しても偏微分を用いて次のように表せます。
\begin{split}
&\lim_{\D y\to 0} \ff{f(x, y+\D y)-f(x,y)}{i\D y}\\[6pt]
=&\ff{1}{i}\ff{\del u}{\del y}+\ff{\del v}{\del y} \\[6pt]
=&\ff{\del v}{\del y}-i\ff{\del u}{\del y}
\end{split}
左辺と右辺の実部と虚部はそれぞれ一致するため、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,\ff{\del u}{\del x}=\ff{\del v}{\del y}\EE
&\,\ff{\del v}{\del x}=-\ff{\del u}{\del y}
\end{split}
\right.
$$
となります。コーシー・リーマンの方程式を証明できました。
十分条件の証明
次に、『コーシー・リーマンの方程式を満たす』$\Rightarrow$『$f(z)$ が正則』について証明します。
まずは、『$f(z)$ が一点 $z_0$ にて複素微分可能である』という条件について考察します。
さて、$f(z)$ が $z_0$ にて複素微分可能であると仮定しているため、次のような式が成立します。
\begin{split}
\lim_{\D z\to 0}\left| \ff{f(z_0+\D z)-f(z_0)}{\D z}-f'(z_0) \right|=0
\end{split}
この式は次のように書き換えることができ、
\begin{eqnarray}
f(z_0+\D z)-f(z_0)=f'(z_0)\D z+\eps|\D z| \tag{1}
\end{eqnarray}
ただし、$\DL{\lim_{\D z\to 0}\eps = 0}$ とします。
ここで、$f(x_0,y_0)=u(x_0,y_0)+iv(x_0,y_0), z=x_0+iy_0, \D z=\D x+i\D y, \eps=\A+i\Be$ とおいて式(1)の実部と虚部を書き下すと、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,u(x+\D x, y+\D y)-u(x,y)=\ff{\del u}{\del x}\D x+\ff{\del u}{\del y}\D y+\A|\D z|\EE
&\,v(x+\D x, y+\D y)-v(x,y)=\ff{\del v}{\del x}\D x+\ff{\del v}{\del y}\D y+\Be|\D z|\EE
&\, \lim_{(\D x, \D y)\to(0,0)}\A = 0,\quad\lim_{(\D x, \D y)\to(0,0)}\Be = 0
\end{split}
\right.
$$
となります。
この条件から、全微分の形に書き換えることができ、
$$
\left\{
\begin{split}
&\,\diff u = \ff{\del u}{\del x}\diff x+\ff{\del u}{\del y}\diff y \\[6pt]
&\,\diff v = \ff{\del v}{\del x}\diff x+\ff{\del v}{\del y}\diff y
\end{split}
\right.
$$
となります。このことから $z_0$ が複素微分可能であるとき、$u,v$ は全微分可能と言えることが分かります。
本命の、『コーシー・リーマンの方程式を満たす』$\Rightarrow$『$f(z)$ が正則』についての証明に取り掛かります。
実関数 $u(x,y), v(x,y)$ が全微分可能であるとき、
\begin{eqnarray}
u(x+\D x, y+\D y)-u(x,y)&=& \ff{\del u}{\del x}\D x+\ff{\del u}{\del y}\D y+\A|\D z| \\[6pt]
v(x+\D x, y+\D y)-v(x,y)&=&\ff{\del v}{\del x}\D x+\ff{\del v}{\del y}\D y+\Be|\D z|
\end{eqnarray}
となります。
今、コーシー・リーマンの方程式が成立するため、
\begin{eqnarray}
u(x+\D x, y+\D y)-u(x,y)&=& \ff{\del u}{\del x}\D x-\ff{\del v}{\del x}\D y+\A|\D z| \tag{2} \\[6pt]
v(x+\D x, y+\D y)-v(x,y)&=&\ff{\del v}{\del x}\D x+\ff{\del u}{\del x}\D y+\Be|\D z| \tag{3}
\end{eqnarray}
とでき、(2)+$i\times$(3)を計算すると、
\begin{split}
&u(x+\D x, y+\D y)+iv(x+\D x, y+\D y)\EE
=&\,\big( u(x,y)+iv(x,y)\big)+\left( \ff{\del u}{\del x}+i\ff{\del v}{\del x} \right)(\D x+i\D y)+\eps|\D z|
\end{split}
となります。整理すると、
\begin{split}
f(z+\D z)-f(x,y)=\left( \ff{\del u}{\del x}+i\ff{\del v}{\del x} \right)\D z+\eps|\D z|
\end{split}
とでき、$\D z\to 0$ にて、$\eps\to 0$ となるので、
\begin{split}
\lim_{\D z\to 0} \ff{f(z+\D z)-f(x,y)}{\D z}=\ff{\del u}{\del x}+i\ff{\del v}{\del x}
\end{split}
であることが導けます。
これより、複素関数 $f(z)$ は複素微分可能、すなわち正則であることが示せました。
以上より、コーシー・リーマンの方程式満たすことが正則関数であることの必要十分条件であることが分かりました。
$C-R$ 方程式の別表現
コーシー・リーマンの方程式を満たすことは、正則関数であることの必要十分条件であることは先に述べたとおりです。
ここでは、コーシー・リーマンの方程式のより簡便な別表現について解説します。
さて、$z=x+iy$ とすると、その共役複素数は $\bar{z}=x-iy$ となり、$\DL{x=\ff{z+\bar{z}}{2}, y=\ff{z-\bar{z}}{2i}}$ と表せます。
したがって、複素関数は $f(z,\bar{z})$ ともできるわけです。このとき、複素関数の全微分は、
\begin{split}
\diff f = \ff{\del f}{\del z}\diff z+\ff{\del f}{\del\bar{z}}\diff \bar{z}
\end{split}
と表せます。
ここで、$\DL{\ff{\del f}{\del \bar{z}}}$ に注目すると、次のように表すことができ、
\begin{split}
\ff{\del f}{\del \bar{z}} &= \ff{\del f}{\del x}\ff{\del x}{\del \bar{z}}+\ff{\del f}{\del y}\ff{\del y}{\del \bar{z}} \\[6pt]
&= \ff{1}{2}\left( \ff{\del f}{\del x}+i\ff{\del f}{\del y} \right) \\[6pt]
&=\ff{1}{2}\left\{ \left(\ff{\del u}{\del x}+i\ff{\del v}{\del x}\right)+\left(i\ff{\del u}{\del y}-\ff{\del v}{\del y}\right) \right\} \\[6pt]
&=\ff{1}{2}\left\{ \left(\ff{\del u}{\del x}-\ff{\del v}{\del y}\right)+i\left(\ff{\del u}{\del y}+\ff{\del v}{\del x}\right) \right\}
\end{split}
ここで、コーシー・リーマンの方程式を利用することで、
\begin{split}
\ff{\del f}{\del \bar{z}} &=\ff{1}{2}\left\{ \left(\ff{\del u}{\del x}-\ff{\del v}{\del y}\right)+i\left(\ff{\del u}{\del y}+\ff{\del v}{\del x}\right) \right\} \\[6pt]
&= 0
\end{split}
であることが導けます。
$\DL{\ff{\del f}{\del \bar{z}}}=0$ となることから、コーシー・リーマンの方程式を満たすとき、その複素関数には $\bar{z}$ が含まれないことが分かります。
したがって、コーシー・リーマンの方程式の別表現を次のように記述できます。
$\bar{z}$ が含まれないとき、その複素関数は正則である。すなわち、
$\DL{\ff{\del f}{\del \bar{z}}}=0$
のとき、$f$ は正則関数である。
これは、コーシー・リーマンの方程式より簡単な判定方法であるため、この判定方法も積極的に使っていくことにします。
複素指数関数の微分の証明
それでは、コーシー・リーマンの方程式を使って実際に微分公式を証明していきましょう。
まず、次の複素指数関数の微分公式について証明します。
\begin{split}
(e^z)’=e^z
\end{split}
この複素指数関数は $\bar{z}$ を含まないため、正則関数であると言えます。したがって微分係数が定まります。
$e^z=e^{x+iy}$ とすると、オイラーの公式より、$e^z=e^x(\cos \q+i\sin \q)$ とでき、
$u=e^x\cos \q, v=e^x\sin \q$ とすることで、$e^z$ の微分係数を次のように計算できます。
\begin{split}
(e^z)’&=\ff{\del u}{\del x}+i\ff{\del v}{\del x}\\[6pt]
&= e^x\cos \q+ie^x\sin \q \EE
&= e^{x+iy} = e^z
\end{split}
これより、$(e^z)’=e^z$ であることが示せました。
複素三角関数の微分の証明
次に、複素三角関数の微分公式を証明します。
\begin{split}
&(1)\quad (\sin z)’=\cos z\\[6pt]
&(2)\quad (\cos z)’=-\sin z\EE
&(3)\quad (\tan z)’=\ff{1}{\cos^2z}\,\,(\cos z\neq 0)\\
\,
\end{split}
$(\sin z)’=\cos z$ の証明
$\sin z$ は定義より、$\DL{\ff{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$ であり、 $\bar{z}$ ことから正則関数であると言えます。
したがって、複素指数関数の微分公式を利用して、$\sin z$ の微分係数は次のように計算できます。
\begin{split}
(\sin z)’&=\left( \ff{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \right)’ \\[6pt]
&= \ff{ie^{iz}}{2i}+\ff{ie^{-iz}}{2i}\\[6pt]
&= \ff{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z
\end{split}
以上より、$(\sin z)’=\cos z$ であることを示せました。
$(\cos z)’=\sin z$ の証明
$\cos z$ は定義より、$\DL{\ff{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$ となり、正則関数であると言えます。
したがって、微分係数は次のように計算できます。
\begin{split}
(\cos z)’&=\left( \ff{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \right)’ \\[6pt]
&= \ff{ie^{iz}}{2}-\ff{ie^{-iz}}{2}\\[6pt]
&= -\left( \ff{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)=-\sin z
\end{split}
以上より、$(\cos z)’=-\sin z$ であることを示せました。
$\DL{(\tan z)’=\ff{1}{\cos^2z}}$ の証明
$\tan z$ は定義より、$\DL{\ff{\sin z}{\cos z}}$ であり、商の微分公式を利用して次のように計算することができます。
\begin{split}
(\tan z)’&=\ff{(\sin z)’\cos z-\sin z(\cos z)’}{\cos^2 z} \\[6pt]
&= \ff{\cos z\cos z+\sin z\sin z}{\cos^2 z} \EE
&= \ff{1}{\cos^2 z}
\end{split}
となり、$\DL{(\tan z)’=\ff{1}{\cos^2z}}$ であることを示せました。
※ 最終行での変形では複素三角関数の性質を利用しています。
複素対数関数の微分の証明
最後に、以下の複素対数関数の微分公式の証明を行います。
\begin{split}
&(1)\quad (\log z)’=\ff{1}{z} \\[6pt]
&(2)\quad \big(\log f(z)\big)’=\ff{f'(z)}{f(z)}
\end{split}
ただし、$z\neq 0, f(z)\neq 0$
$\DL{ (\log z)’=\ff{1}{z}}$ の証明
$\log z=\RM{Log}z+i2n\pi$ は、定義より $\RM{Log}z=\ln |z|+i\RM{arg}\,z$ となります。
$z=x+iy$ とすると、$|z|=\sqrt{x^2+y^2}, \RM{arg}z=\DL{\tan^{-1}\ff{y}{x}}$ とできるため、
\begin{split}
\log z&= \log\sqrt{x^2+y^2}+\tan^{-1}\ff{y}{x}+i2n\pi \\[6pt]
&= \ff{1}{2}\log(x^2+y^2)+\tan^{-1}\ff{y}{x}+i2n\pi
\end{split}
とでき、$u=\DL{\ff{1}{2}\log(x^2+y^2)}, v=\DL{\tan^{-1}\ff{y}{x}+i2n\pi}$ とすると、
\begin{split}
(\log z)’&= \ff{\del u}{\del x}+i\ff{\del v}{\del x}\\[6pt]
&= \ff{1}{2}\ff{2x}{x^2+y^2}-i\ff{y}{x^2+y^2} \\[6pt]
&= \ff{x-iy}{x^2+y^2} \\[6pt]
&= \ff{1}{x+iy} = \ff{1}{z}
\end{split}
と求められます。
以上より、$\DL{ (\log z)’=\ff{1}{z}}$ であることを示せました。
$\DL{ \big(\log f(z)\big)’=\ff{f'(z)}{f(z)}}$ の証明
$\DL{ \big(\log f(z)\big)’=\ff{f'(z)}{f(z)}}$ について証明します。
$g=f(z)$ とすると、合成関数の微分の公式より、次のように計算できます。
\begin{split}
\big(\log g\big)’ &= \ff{\diff f}{\diff g}\ff{\diff g}{\diff z} \\[6pt]
&= \ff{1}{g}\cdot f'(z) \\[6pt]
&= \ff{1}{f(z)}\cdot f'(z) \\[6pt]
&= \ff{f'(z)}{f(z)}
\end{split}
となり、$\DL{ \big(\log f(z)\big)’=\ff{f'(z)}{f(z)} }$ であることを示せました。
