コーシーの積分定理とは、周回積分に関する定理です。
複素解析の世界では、コーシーの積分定理が重要な働きを演じます。
今回はコーシーの積分定理の解説とその例題について解説します。
コーシーの積分定理
コーシーの積分定理とは次のような定理です。
単純閉曲線とは、始点と終点が一致する閉曲線の中で、始点と終点以外の交点を持たない閉曲線のことをいいます。
このような単純閉曲線の内部を定義域 $D$ として、$f(z)$ が $D$ 内で正則であるとき、その周回積分の値が、
\begin{split}
\oint_C f(z) \diff z= 0
\end{split}
となると、コーシーの積分定理は主張しています。
例えば、$f(z)=z^n$ は正則関数であるため、コーシーの積分定理より、$\DL{\oint_C z^n\,\diff z= 0}$ となります。（ただし、$n\neq -1$）
具体的な計算過程はこちらで解説しているので参考にしてください。
コーシーの積分定理の証明
コーシーの積分定理の証明を行います。
証明の準備としてまずは、グリーンの定理について紹介します。
グリーンの定理とは？
突然ですが、グリーンの定理より以下の式が成立することが知られています。
$f(x,y)$ と $g(x,y)$ を実２変数関数とし、
$xy$ 平面上での単純閉曲線 $C$ と $C$ に囲まれた領域 $D$ を考える。
このとき、以下の関係式が成立する。
\begin{split}
\oint_C \Big( f\,\diff x+g\,\diff y\Big)= \iint_D\left( \ff{\del g}{\del x}-\ff{\del f}{\del y} \right)\diff x\diff y
\end{split}
今回は、グリーンの定理の証明には立ち入りませんが、前提となる多重積分の性質について簡単に紹介します。
たとえば、$f(x,y)=xy, (0\leq x \leq 2, 0\leq y\leq 1)$ という２変数関数があったとして、二重積分を式に表すと次のようになります。
\begin{split}
\iint_D f(x,y)\,\diff x\diff y = \int_0^1 \int_0^2 xy\,\diff x\diff y
\end{split}
上式では、インテグラルが二重で書かれていますが、これは積分変数が２つあることに対応しています。また、２変数の積分を二重積分、３変数では三重積分と呼びます。一般には、多重積分といいます。
さて、積分変数は各々の区間の中を自由に動き回るため、座標空間上での積分区間は広がりを持った領域となります。このような領域を $D$ として、$\DL{\iint_D}$ のように表します。なお、省略して $\DL{\int_D}$ と書くこともあります。
先程の二重積分の計算に戻りますが、計算の要領は１変数のときと全く同じで、次のように計算されます。
\begin{split}
\int_0^1 \int_0^2 xy\,\diff x\diff y&=\int_0^1\left( \int_0^2 xy\,\diff x \right)\diff y \\[6pt]
&= \int_0^1\left( \left[ \ff{1}{2}x^2y\right]_0^2 \right)\diff y \EE
&= \int_0^1 2y\,\diff y = 1
\end{split}
グリーンの定理では、左辺の周回積分の値が右辺の二重積分の値と一致することを主張しています。
コーシーの積分定理の証明
グリーンの定理を利用して、コーシーの積分定理の証明を行います。
まず、$z=x+iy$ として、$f(z)$ を実２変数関数 $u,v$ を用いて、$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ とします。
このとき、周回積分は線積分の性質から次のように変形でき、
\begin{split}
\oint_C f(z) \diff z=\lim_{\D z\to 0}\sum_{j=0}^n f(z_j)\D z_j
\end{split}
さらに、$u,v$ を用いることで、
\begin{split}
\lim_{\D z\to 0}\sum_{j=0}^n f(z_j)\D z_j &= \lim_{(\D x,\D y)\to (0,0)}\sum_{j=0}^n \big\{ u(x_j,y_j)+iv(x_j, y_j) \big\}(\D x_j+i\D y_j) \\[6pt]
&= \lim_{(\D x,\D y)\to (0,0)}\sum_{j=0}^n \big\{ u(x_j,y_j)\D x_j-v(x_j, y_j)\D y_j \big\}\EE
&\quad\,\,\, +\lim_{(\D x,\D y)\to (0,0)}i\sum_{j=0}^n \big\{ u(x_j,y_j)\D y_j+v(x_j, y_j)\D x_j \big\}\EE
\end{split}
再び積分の形に戻すと、
\begin{split}
\oint_C f(z) \diff z=\oint_C\big( u\,\diff x-v\,\diff y \big)+i\oint_C\big( u\,\diff y+v\,\diff x \big)
\end{split}
となることが分かります。
この結果をグリーンの定理に適用すると、次のような等式を導けます。
$$
\left\{
\begin{split}
\,\oint_C\big( u\,\diff x-v\,\diff y \big) &= -\int_D \left(\ff{\del v}{\del x}+\ff{\del u}{\del y} \right)\diff x\diff y \\[6pt]
\,\oint_C\big( u\,\diff y+v\,\diff x \big) &= \int_D\left( \ff{\del u}{\del x}-\ff{\del v}{\del y} \right)\diff x\diff y \\[6pt]
\end{split}
\right.
$$
$f(z)$ は正則であるため、コーシー・リーマンの方程式を適用でき、右辺が $0$ となることが分かります。したがって、
$$
\left\{
\begin{split}
\,\oint_C\big( u\,\diff x-v\,\diff y \big) &= 0 \\[6pt]
\,\oint_C\big( u\,\diff y+v\,\diff x \big) &= 0 \\[6pt]
\end{split}
\right.
$$
となり、これより
\begin{split}
\oint_C\big( u\,\diff x-v\,\diff y \big)&+i\oint_C\big( u\,\diff y+v\,\diff x \big) = 0\EE
\therefore\,\,&\oint_C f(z) \diff z= 0
\end{split}
となります。以上より、コーシーの積分定理を証明できました。
積分経路変形の原理
コーシーの積分定理では単純閉曲線の具体的な形を指定していませんが、これはデメリットではなく応用上の大きな利点になります。
さて、コーシーの積分定理の性質から、次のような積分経路変形の原理を導けます。
領域 $D$ 内で $f(z)$ が正則であるとする。
また、$D$ の内部の２点 $\A, \Be$ を考える。
このとき、$\A$ を始点、$\Be$ を終点とする２つの積分路 $C_1, C_2$ に対して、
\begin{split}
\int_{C_1}f(z)\,\diff z = \int_{C_2}f(z)\,\diff z
\end{split}
が成立する。
証明を以下に示します。
追加で積分路 $C_3$ を考えます。ただし、$C_3$ は $C_1, C_2$ のいずれとも $\A, \Be$ 以外に共有点を持たないとします。
ここで、$\Gamma_1 = C_1+(-C_3), \Gamma_2 = C_2+(-C_3)$ の周回積分を考えると、コーシーの積分定理より、
$$
\left\{
\begin{split}
\,\oint_{\Gamma_1} f(z)\,\diff z &= \int_{C_1-C_3} f(z)\,\diff z=0 \\[6pt]
\,\oint_{\Gamma_2} f(z)\,\diff z &= \int_{C_2-C_3} f(z)\,\diff z=0
\end{split}
\right.
$$
となります。
ここで、複素線積分の公式(4)を使うと、上の周回積分は次のように分解でき、
$$
\left\{
\begin{split}
\,\int_{C_1-C_3} f(z)\,\diff z &=\int_{C_1} f(z)\,\diff z-\int_{C_3} f(z)\,\diff z = 0\\[6pt]
\,\int_{C_2-C_3} f(z)\,\diff z &= \int_{C_2} f(z)\,\diff z-\int_{C_3} f(z)\,\diff z = 0
\end{split}
\right.
$$
これより、
$$
\left\{
\begin{split}
\,&\int_{C_1} f(z)\,\diff z=\int_{C_3} f(z)\,\diff z\\[6pt]
\,&\int_{C_2} f(z)\,\diff z=\int_{C_3} f(z)\,\diff z
\end{split}
\right.
$$
したがって、$\DL{\int_{C_1}f(z)\,\diff z = \int_{C_2}f(z)\,\diff z}$ であることを示せました。
積分経路変形の原理の具体例については、こちらで解いています。
周回積分と特異点
ところで、$\DL{\oint_C \ff{1}{z}\diff z = 2i\pi}$ となることをこちらで示しました。
一見、コーシーの積分定理と矛盾するように感じますが、特異点と呼ばれる特殊な領域を含んでいるためにこのような現象が起きます。
特異点についての簡単な解説を行っていきます。
まず、コーシーの積分定理が成立するための条件は、複素関数 $f(z)$ が領域 $D$ の中にて正則であることです。
逆にいえば、$D$ 内で正則でない点があるとき、コーシーの積分定理は成立しません。
今、$1/z$ は $z=0$ にて無限となるため、$z=0$ での微分係数は発散します。したがって、$1/z$ は $z=0$ の一点で正則となりません。そのため、$z=0$ を含む領域で $1/z$ の周回積分を実行しても $0$ とならないのです。
このように、関数が正則とならない点のことを特異点と呼びます。
特異点とは、関数が正則とならない点のこと
ところで、同じ論法で、$\DL{\ff{1}{z^2}}$ なども $z=0$ も特異点となるのでは？という疑問を抱きますが、$0$ を含んだ領域で周回積分を実行しても結果は $0$ となります。このような差が生まれる理由については別の機会にて明らかにします。
特異点を除いた周回積分
ところで、$1/z$ は $z=0$ 意外であれば正則関数ですから、$z=0$ を含まない領域で周回積分を行ったら $0$ となるのでしょうか？
実際に確かめてみます。例えば、$z=2$ を中心とする半径 $1$ の円にて周回積分を行うことを考えます。
積分路上の $z$ は円の公式より $z=2+e^{i\q}$ とできるので、周回積分は次のようになり、
\begin{split}
\oint_C f(z)\,\diff z &= \int_0^{2\pi}\ff{1}{z}\ff{\diff z}{\diff \q}\diff \q \\[6pt]
&= \int_0^{2\pi}\ff{ie^{i\q}}{2+e^{i\q}} \diff \q
\end{split}
これを計算すると、
\begin{split}
\int_0^{2\pi}\ff{ie^{i\q}}{2+e^{i\q}} \diff \q &=\big[ \ln(2+e^{i\q}) \big]_0^{2\pi} \EE
&= \ln 3-\ln 3 = 0
\end{split}
となり、特異点を避けて計算すれば、きちんとコーシーの積分定理が成り立っていることが分かります。（複素対数関数やその微分については、こちらとこちらで解説しています）
特異点を含むときの周回積分の性質については、コーシーの積分公式にて詳しく解説しています。
