コーシーの積分定理を利用して、有用なコーシーの積分公式が導けます。
今回は、コーシーの積分公式とその証明について解説します。
特異点を含む周回積分
コーシーの積分公式について考える前に、特異点周りの周回積分の性質について考えます。
まず、領域 $D$ に含まれる全ての点で正則であれば、コーシーの積分定理より、その周回積分は $\DL{\oint_C f(z)\,\diff z=0}$ となります。
ところで、$\DL{\ff{1}{z}}$ は原点 $0$ にて正則とはならない（＝特異点）ため、$0$ を含むような周回積分では、コーシーの積分定理は適用できなくなります。
では、特異点を含む次のような半径 $1$ の円の積分路にて周回積分を行ったらどうなるでしょうか？
積分路 $C$ は円の公式より、$z=e^{i\q}$ とできるので、周回積分は次のように計算できます。
\begin{split}
\oint_C f(z)\,\diff z &= \oint_C \ff{1}{z} \diff z \\[6pt]
&= \int_0^{2\pi} \ff{1}{e^{i\q}} ie^{i\q}\,\diff \q \\[6pt]
&= \int_0^{2\pi} i\,\diff \q = 2i\pi
\end{split}
次に、$\DL{\ff{1}{z-a}}$ の複素関数に対しての周回積分を考えます。
この周回積分では、$a$ を中心とする半径が $1$ の積分路を考えます。
積分路は円の公式より $z=a+e^{i\q}$ とできるので、周回積分は次のように計算できます。
\begin{split}
\oint_C f(z)\,\diff z &= \oint_C \ff{1}{z-a} \diff z \\[6pt]
&= \int_0^{2\pi} \ff{1}{(a+e^{i\q})-a} ie^{i\q}\,\diff \q \\[6pt]
&= \int_0^{2\pi} i\,\diff \q = 2i\pi
\end{split}
計算を簡単にするため積分路を円としましたが、積分経路変形の原理から点 $a$ 周りを一周する単純閉曲線でも同じ計算結果になると言えるので、これを公式として扱うことができそうです。
ここでは、この公式を周回積分の公式と呼ぶことにします。
コーシーの積分公式
それでは、コーシーの積分公式についての解説を始めます。
単純閉曲線 $C$ の内部 $D$ にて正則である複素関数 $f(z)$ に対して、次のコーシーの積分公式が成立することが知られています。
証明は後ほど示すとして、例題を先に解いて行きます。
コーシーの積分公式の例題
(1) $\DL{\oint_C \ff{z^2}{z-i}}\,\diff z$
$z^2$ は全平面上で正則であるため、コーシーの積分公式が適用でき、次のように計算できます。
\begin{split}
\oint_C \ff{z^2}{z-i}\diff z&= 2i\pi\cdot (i)^2\EE
&= -2i\pi
\end{split}
(2) $\DL{\oint_C \ff{\sin z}{z-i}}\,\diff z$
$\sin z$ は全平面上で正則であるため、コーシーの積分公式が適用でき、次のように計算できます。
\begin{split}
\oint_C \ff{\sin z}{z-i}\diff z&=2i\pi\sin i\EE
&= 2i\pi\cdot\ff{e^{-1}-e}{2i} \EE
&= -\pi\left(e-\ff{1}{e} \right)
\end{split}
式変形の途中では、複素三角関数の定義式を利用しています。
コーシーの積分公式の証明
コーシーの積分公式の証明を行っていきます。
コーシーの積分公式の左辺を次のように変形します。
\begin{split}
\oint_C \ff{f(z)}{z-a}\diff z &= \oint_C \ff{\big\{f(z)-f(a)\big\}+f(a)}{z-a}\diff z
\end{split}
複素線積分の公式(2)・(3) を適用し、さらに周回積分の公式を利用すると、
\begin{split}
&\oint_C \ff{\big\{f(z)-f(a)\big\}+f(a)}{z-a}\diff z \\[6pt]
=& \oint_C \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z+f(a)\oint_C \ff{1}{z-a}\diff z \\[6pt]
=& \oint_C \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z+2i\pi f(a)
\end{split}
となります。
仮定より $a$ は積分路の内部にあるため、周回積分の公式が適用でき、第２項は $2i\pi f(a)$ となります。
問題となるのは、第１項です。第１項が $0$ となることを示すのが目標となります。
その準備として、複素関数の積分の性質について紹介します。
まずは複素関数の積分の評価式について紹介します。
積分路 $C$ 上での $|f(z)|$ の最大値を $M$、$C$ の長さを $L$ とする。
このとき、複素関数の積分は次のように評価できる。
\begin{split}
\left|\int_C f(z) \diff z\right|\leq\int_C |f(z)||\diff z|\leq ML \\
\,
\end{split}
次に、特異点を内部に複数持つ領域での複素線積分を考えましょう。
$D$ 内に特異点を持つとコーシーの積分定理を適用できないため、特異点を避けるよう、図のような積分路を設定します。
この状態であればコーシーの積分定理が適用でき、次のような式が成立します。
\begin{split}
&\oint_{C+T_1+C_{1}^{-1}+\cdots+T_n+C_{n}^{-1}+T_n^{-1}} f(z)\diff z \\[6pt]
=&\oint_C f(z)\diff z+\sum_{j=1}^n\oint_{C_j^{-1}}f(z)\diff z+\sum_{j=1}^n\left(\oint_{T_j}f(z)\diff z+\oint_{T_j^{-1}}f(z)\diff z \right)\\[6pt]
=&\,\,0
\end{split}
第３項は往復経路 $T_j, T_j^{-1}$ に関する線積分を表しますが、これは線積分の性質から $0$ となります。
したがって、$\DL{\oint_C f(z)\diff z=-\sum_{j=1}^n\oint_{C_j^{-1}}f(z)\diff z}$ であると言えます。
これより次の定理が導けます。
複素関数 $f(z)$ が単純閉曲線 $C$ 内に特異点 $a_1,\cdots a_n$ を持つとする。
このとき、以下の式が成立する。
\begin{split}
\oint_C f(z)\diff z=\sum_{j=1}^n\oint_{C_j}f(z)\diff z \\
\,
\end{split}
ただし、$C_j$ を特異点 $a_j$ 周りの小円を正方向に辿る経路とする。
準備が整ったので、コーシーの積分公式の証明を行います。
まず、$C$ の内部の特異点周りに半径が $\delta$ の積分路 $C_0$ を設けます。
この積分路は円の公式より、$|z-a|=\delta$ とできます。また、$f(z)$ は $D$ 内で正則であるため、$f(a)$ で連続であるといえます。
ここで、$|z-a|=\delta$ にて、$|f(z)-f(a)|\leq\eps$ であるとすると、$\delta \to 0$ にて $\eps\to 0$ となります。このことを後ほど利用します。（$\delta, \eps>0$ とします）
さて、先程紹介した特異点と複素線積分の関係式より、特異点周りの線積分は次のように変形できます。
\begin{split}
&\oint_C \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z=\oint_{C_0} \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z
\end{split}
ただし、$C_0$ を半径が $\delta$ の小円とします。
右辺の積分の値は複素関数の評価式から、次のように評価できます。
\begin{split}
\left| \oint_{C_0} \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z \right| &= \oint_{C_0}\left| \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\right||\diff z|\leq ML
\end{split}
$\DL{\left| \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\right|}$ については仮定より、
\begin{split}
\left| \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\right|\leq\ff{|f(z)-f(a)|}{|z-a|}\leq \ff{\eps}{\delta}
\end{split}
と評価でき、これより、$\DL{M=\ff{\eps}{\delta}}$ であることが分かります。また、$L=2\pi\delta$ であるため、評価式は次のようにできます。
\begin{split}
\left| \oint_{C_0} \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z \right| \leq ML=\ff{\eps}{\delta}\cdot 2\pi\delta = 2\pi\eps
\end{split}
$\delta\to 0$ にて $\eps\to 0$ となるため、$\DL{\oint_{C_0} \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z=0}$ であるといえます。
以上より、
\begin{split}
\oint_C \ff{f(z)}{z-a}\diff z=& \oint_C \ff{f(z)-f(a)}{z-a}\diff z+f(a)\oint_C \ff{1}{z-a}\diff z \\[6pt]
=&\,\,0+2i\pi f(a) \EE
=&\,\,2i\pi f(a)
\end{split}
とできて、コーシーの積分公式を証明できました。
例題と公式の証明
最後に、例題も兼ねて次の重要公式の証明を行います。
$f(z)$ が円 $|z-a|=R$ の境界とその内部で正則であるとき、次の等式が成立する。
\begin{split}
f(a)=\ff{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a+Re^{i\q}) \diff \q \\
\,
\end{split}
円周上の点 $z$ は円の公式より、$z=a+Re^{i\q}$ とでき、 $\diff z = iRe^{i\q}\diff \q$ となることに注意して、コーシーの積分公式を適用すると、
\begin{split}
f(a)&=\ff{1}{2i\pi}\int_0^{2\pi} \ff{f(a+Re^{i\q})}{(a+Re^{i\q})-a} iRe^{i\q}\diff \q \\[6pt]
&= \ff{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(a+Re^{i\q}) \diff \q
\end{split}
となります。
これより、公式を証明できました。
