等角写像とは次のような変換のことを言います。
任意の点 $z_0$ 近傍の微小な2つの線分が、
その成す角を保存するように写像されるような操作を等角写像と呼ぶ。
等角写像の簡単なイメージと、等角写像が成立するための条件についても解説します。
等角写像のイメージ
等角写像について解説する前に、等角写像の簡単なイメージについて紹介します。
等角写像の例として次のようなものがあります。
様子をよく見ると、変形の前後で交点での角度が変化せず、直角を保っていることが分かります。
このように、$z$ 平面上での角度が保存されたまま $w$ 平面上に移されるような操作を等角写像と呼びます。文字通り、角度が保たれるため等角写像と呼ばれるのです。
今回は $f(z)=z^2$ という関数を使いましたが、違う関数を使うと異なる結果になります。次に、等角写像の数学的な性質について考えていきましょう。
等角写像と微分
等角写像を数学的に記述する方法について考えます。
$z$ 平面上の領域 $D$ 内での複素関数を $z(t)$ とし、等角写像により $w$ 平面上の領域 $D’$ 内の $f(z(t))$ に写されたとします。
さて、$D$ 内の曲線を $C$ として次のようにパラメータ表示します。
\begin{split}
C:z(t)=x(t)+iy(t)\,\,\,(a\leq t\leq b)
\end{split}
ただし、$a,b,t$ を実数、$x,y$ を実関数とします。
$C$ が $f(z(t))$ によって変換された結果、$w$ 平面上の $\Gamma$（ガンマ）という曲線になったとすると、その曲線は次のように表せます。
\begin{split}
\Gamma:w=f(z)=f(x(t)+iy(t))\,\,\,(a\leq t\leq b)
\end{split}
このとき、『 $\Gamma$ は $f$ による $C$ の像』と言います。
今、２つの曲線を $C_1,C_2$ とし、これらの像を $\Gamma_1,\Gamma_2$ とすると、等角写像後の様子は次のように表せます。
今、$C_1$ と $C_2$ の交点を $z_0$、$\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の交点を $w_0$ とし、その近傍の点を $z_1, z_2, w_1, w_2$ とます。なお、各点は $C_1,C_2,\Gamma_1,\Gamma_2$ 上にあるとします。
まず、次の式について考えてみましょう。
\begin{split}
\D w_1 = w_1-w_0
\end{split}
$w$ の定義より、
\begin{split}
\D w_1 = f(z_1)-f(z_0)
\end{split}
と表せ、次のような変形を行います。
\begin{split}
\D w_1 = \ff{f(z_1)-f(z_0)}{z_1-z_0}(z_1-z_0)
\end{split}
見通しを良くするため、$z_1-z_0=\D z_1$ とすると、
\begin{eqnarray}
\ff{w_1-w_0}{z_1-z_0} = \ff{f(z_0+\D z_1)-f(z_0)}{\D z_1} \tag{1}
\end{eqnarray}
とできます。同様にして $w_2-w_0$ についても
\begin{eqnarray}
\ff{w_2-w_0}{z_2-z_0} = \ff{f(z_0+\D z_2)-f(z_0)}{\D z_2} \tag{2}
\end{eqnarray}
とできます。
等角写像の成立条件
ここからが重要です。式(1)と(2)より以下の式を導くことができます。
\begin{eqnarray}
\ff{\DL{\ff{w_1-w_0}{z_1-z_0}}}{\DL{\ff{w_2-w_0}{z_2-z_0}}} = \ff{\DL{\ff{w_1-w_0}{w_2-w_0}}}{\DL{\ff{z_1-z_0}{z_2-z_0}}}=\ff{\DL{\ff{f(z_0+\D z_1)-f(z_0)}{\D z_1}}}{\DL{\ff{f(z_0+\D z_2)-f(z_0)}{\D z_2}}}\tag{3}
\end{eqnarray}
さて、$f(z)$ が正則であるとすると、$\DL{\lim_{\D z\to 0}\ff{f(z+\D z)-f(z)}{\D z}}$ は収束して、$f'(z)$ と書けます。
したがって、$\D z_1\to 0, \D z_2\to 0$ の極限を考えると、
\begin{eqnarray}
\ff{w_1-w_0}{w_2-w_0}=\ff{z_1-z_0}{z_2-z_0} = \ff{f'(z_0)}{f'(z_0)}
\end{eqnarray}
とでき、$f'(z_0)\neq0$ であれば、
\begin{eqnarray}
\ff{w_1-w_0}{w_2-w_0}=\ff{z_1-z_0}{z_2-z_0}
\end{eqnarray}
とすることができます。
ここで合成変換の理論を思い出すと、$w_0$ を中心とした回転角と $z_0$ を中心とした回転角が一致し、その回転方向も一致することを表していることが分かります。
つまり、$\angle w_1w_0w_2=\angle z_1z_0z_2$ となることが分かります。以上より、等角写像を行うための条件が次のようにまとめられます。
等角写像が実行できるための条件は以下の２つである。
・関数 $f(z)$ が領域 $D$ 内で正則であること
・$D$ 内の点 $z_0$ にて $f'(z_0)\neq0$ であること$\,\,\,$
このとき、$z_0$ を通る曲線 $C_1,C_2$ の交角と $f(z)$ による像 $\Gamma_1, \Gamma_2$ の、$w_0=f(z_0)$ における $\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の交角は等しく、回転方向も一致する。
等角写像の例
等角写像の例を解説します。
$(1)$ $w=z^4$ の等角写像
$f(z)=z^4$ は複素平面全体で正則であり、$z=0$ 意外で $f'(z)\neq0$ です。そのため、等角写像が実行できることが分かります。
さて、$z=re^{i\q}, w=u+iv$ とすると、$u=r^4\cos4\q, v=r^4\sin4\q$ という対応関係を導け、$r=1,2,3,4$ に対して等角写像の結果をプロットすると次のようになります。
図のように、$z$ 平面上の縦横の線は $w$ 平面上にて放物線状に変形されていることが分かります。
また、交角は直角を保っていることが分かります。
