複素関数の極限は次のように表されます。
$\DL{\lim_{z\to z_0}f(z)=\A, \lim_{z\to z_0}g(z)}=\Be$、また、
$k$ を複素定数として以下の公式が成立する。
\begin{split}
&(1)\quad\lim_{z\to z_0}\big\{ f(z)\pm g(z) \big\} = \A\pm \Be \EE
&(2)\quad\lim_{z\to z_0}\big\{ kf(z) \big\} = k\A \EE
&(3)\quad\lim_{z\to z_0} \big\{f(z)\cdot g(z)\big\} = \A\Be \EE
&(4)\quad\lim_{z\to z_0} \ff{f(z)}{g(z)} = \ff{\A}{\Be}\quad(\Be\neq 0) \\
\,
\end{split}
※ 複素関数については、こちらで詳しく解説しています。
複素数の極限とは？
実関数の微分は、$\DL{f'(x)=\lim_{h\to 0}\ff{f(x+h)-f(x)}{h}}$ のように定義されました。
複素関数の微分でも、このような定義を利用したいのですが、複素関数の極限については考えたことがなかったため、このままでは複素関数の微分を調べることができません。
そこで、複素関数の極限についてから考えていきましょう。
まず、複素平面上に図のように点 $z_0$ があったとして、
\begin{split}
|z-z_0|<\delta
\end{split}
を満たすような領域のことを、$\delta$(デルタ)近傍と呼びます。（$\delta$ は実数）
$z$ はこの領域の中を好き勝手に動くことができるので、特定の値は持ちませんが、
$\delta$ を $0$ に近づけていくと、領域は点となるため、最終的には $z$ は $z_0$ と一致します。
このようなとき、$z$ は極限値 $z_0$ に収束するといい、
\begin{split}
\lim_{\delta\to 0}z = z_0
\end{split}
と書くことができます。
複素数の極限のユニークな点は、極限値への近づき方が１通りではなく、複数の方法が考えられることです。
極限値に真っ直ぐ近づく方法もあれば、曲線的であったり螺旋を描いて近づく方法もあります。
このように、四方八方どんな方向からでも極限値に近づくことができます。
複素関数の極限と収束・発散
それでは、複素関数の極限について考えてみましょう。
複素平面上のある一点 $z_0$ の近傍で定義されている複素関数 $f(z)$ があるとし、この関数の極限について考えます。
さて、$f(z)$ が $z\to z_0$ となるにつれて、$f(z)\to\A$ となるとき、
『$z$ が $z_0$ に近づくとき、$f(z)$ は $\A$ に収束する』といい、$\DL{\lim_{z\to z_0}f(z)=\A}$ と表します。また、$\A$ を $f(z)$ の極限値と呼びます。
一方、極限値 $\A$ が定まらないとき $f(z)$ は発散すると言います。
複素関数が極限値に収束する様子を $z$ 平面と $w$ 平面に対応させて描くと、次のようになります。
これを式で表すと、次のようになります。
$\delta, \eps$ を正の実数、$w=f(z)$ の定義域を $D$ として、
$0<|z-z_0|<\delta$, $z\in D$ のとき常に $|f(z)-\A|<\eps$
ただし、$\A \neq \infty$
複素関数の極限公式
先述のように、$z$ が様々な方向から $z_0$ に近づいても $f(z)$ が極限値 $\A$ に収束するとき、$\DL{\lim_{z\to z_0}f(z)=\A}$ と書くことができます。
形式的には実関数の場合と同じであることが分かります。
さて、複素関数では次のような極限公式が成立することが知られています。
$\DL{\lim_{z\to z_0}f(z)=\A, \lim_{z\to z_0}g(z)=\Be}$、また、
$k$ を複素定数として以下の公式が成立する。
\begin{split}
&(1)\quad\lim_{z\to z_0}\big\{ f(z)\pm g(z) \big\} = \A\pm \Be \EE
&(2)\quad\lim_{z\to z_0}\big\{ kf(z) \big\} = k\A \EE
&(3)\quad\lim_{z\to z_0} \big\{f(z)\cdot g(z)\big\} = \A\Be \EE
&(4)\quad\lim_{z\to z_0} \ff{f(z)}{g(z)} = \ff{\A}{\Be}\quad(\Be\neq 0) \\
\,
\end{split}
さて、$x,y$ を実数として、$z=x+iy$ と表せたとします。
このとき、$|x|,|y|\leq|z|=\sqrt{x^2+y^2}\leq|x|+|y|$ の関係があるため、
$z\to 0$ になるとき、$x,y\to 0$ になることが分かります。
これより、$z_0=x_0+iy_0$ として、$(z-z_0)\to 0$ について考えると、
\begin{split}
&(x-x_0)\to 0 \EE
&(y-y_0)\to 0
\end{split}
とならなければならないため、$z\to z_0$ は $(x,y)\to (x_0,y_0)$ という関係を満たすと言えます。
さて、複素関数 $f(z)$ が $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ と表せるとし、また、$f(z_0)=\A=a+ib$ であるとします。($a,b$ は実数)
このとき、$\DL{\lim_{z\to z_0}f(z)=\A}$ について考えると、今までの考察より、
$$
\lim_{z\to z_0}f(z)=\A\Leftrightarrow
\left\{
\begin{split}
&\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)= a \EE
&\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}v(x,y)= b
\end{split}
\right.
$$
となることが分かります。
極限の例題
実際に例題を解いて複素関数の極限について理解を深めていきましょう。
まず、$\DL{\lim_{z\to i}\ff{z}{z^2+iz}}$ について考えます。
実際に計算を行うと、次のようになり、
\begin{split}
\lim_{z\to i}\ff{z}{z^2+iz} &= \lim_{z\to i}\ff{1}{z+i} \EE
&= -\ff{i}{2}
\end{split}
きちんと収束することが分かります。
次に、$\DL{\lim_{z\to i}\ff{z}{|z|}}$ について考えます。
$z$ を極形式を使って表すと、$re^{i\q}$ とできます。
今、$|z|=r$ であるため、計算は次のようにできます。
\begin{split}
\lim_{z\to i}\ff{z}{|z|}&= \lim_{z\to i}\ff{re^{i\q}}{r} \EE
&= \lim_{z\to i} e^{i\q}
\end{split}
計算結果から分かるように、$z$ とは無関係な $\q$ のみを持つ項が現れてしまいました。
$\q$ については制約が無いため、この式の極限値は残念ながら定まりません。
したがって、$\DL{\lim_{z\to i}\ff{z}{|z|}}$ は発散することが分かります。
単純な式であっても極限値が必ずしも収束しないことは意外ですが、様々な方向から極限を考えるという性質上、極限値が一つに定まらないのは仕方がないといえます。
むしろ、複素関数の極限値が収束することの方がレアなケースと言えそうです。
複素関数の連続条件
複素関数の微分を考える準備として、最後に複素関数の連続について紹介します。
複素関数 $f(z)$ が次のような条件を満たすとき、$f(z)$ は $z_0$ で連続であるといいます。
複素関数の連続に関しても、形式上は実関数と同様の定義で表されることが分かります。
ただし、$z_0$ への近づき方に様々な方法があることが異なる点です。
次回、複素関数の微分について考えていきます。
