留数定理とは周回積分に関する次の定理のことです。
留数定理は実定積分にも応用可能なため非常に有用な定理です。今回は、留数と留数定理について解説していきます。
周回積分とローラン展開
コーシーの積分公式を利用するためには領域全体が正則である必要がありました。ここから進んで、領域内に特異点を含む場合の周回積分の公式を導くことを目標にします。
幸いなことにローラン展開を使うと、任意の関数をべき級数展開できることが分かっています。そこで、周回積分の計算にローラン展開の結果を利用することにします。
さて、$f(z)$ を特異点 $\A$ 周りでローラン展開した結果が次のようになったとします。ただし、領域内での特異点は $\A$ のみであるとします。
\begin{split}
\oint_C f(z) \diff z &=\oint_C\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-\A)^n \right\} \diff z
\end{split}
これを半径 $r$ の積分路に沿って周回積分することを考えます。
このとき、周回積分の性質から $\DL{(z-\A)^{-1}}$ 以外の項は全て $0$ になるため、
\begin{split}
\oint_C f(z) \diff z &= 2i\pi a_{-1}
\end{split}
となります。今 $a_{-1} = f'(\A)$ であるので周回積分を
\begin{split}
\oint_C f(z) \diff z &= 2i\pi f'(\A)
\end{split}
と求めることができます。
驚くことに、係数 $a_{-1}$ を使うだけで周回積分の結果を求めることができました。しかも、積分を微分の計算に置き換えられることも分かります。
留数とは？
先程の結果から、$a_{-1}$ のみから周回積分の答えが得られることが分かります。
このとき、$a_{-1}$ のみが残ることから、この係数に留数という特別な名前を与えることにします。
特異点 $\A$ を中心とした $f(z)$ のローラン展開が $\DL{\sum_{n=\infty}^{\infty}a_n(z-\A)^n}$ となるとき、
その $-1$ 次の係数 $a_{-1}$ を留数と呼び、$\DL{\underset{z=\A}{\RM{Res}}\,f(z)}$ または $\RM{Res}(\A)$ と表す。
留数を利用すると、先程の周回積分は次のように表示できます。
\begin{split}
\oint_C f(z) \diff z &= 2i\pi\,\underset{z=\A}{\RM{Res}}\,f(z)
\end{split}
留数の求め方
ローラン展開を毎回実行して留数を求めるのは大変です。そこで、留数を簡単に求める方法を考えていきます。
留数を $b=a_{-1}$ として、$-1$ 次の項からローラン展開ができるとすると、次のようにできます。
\begin{split}
f(z) &= \ff{b}{z-\A}+a_0+a_1(z-\A)+a_2(z-\A)^2+\cdots
\end{split}
ここで、両辺に $z-\A$ をかけると、
\begin{split}
(z-\A)f(z) &= b+a_0(z-\A)+a_1(z-\A)^2+a_2(z-\A)^3+\cdots
\end{split}
とでき、これより留数を次のように求められます。
\begin{split}
\underset{z=\A}{\RM{Res}}\,f(z)=\lim_{z\to \A}(z-\A)f(z) = b
\end{split}
さて、ローラン展開が $-k$ 次から始まる場合、留数はどうなるでしょうか？
\begin{split}
f(z) &= a_{-k}(z-\A)^{-k}+a_{-k+1}(z-\A)^{-k+1}+\cdots\\
&\qquad +b(z-\A)^{-1}+a_0+a_1(z-\A)+\cdots
\end{split}
この場合、$\DL{\lim_{z\to \A}(z-\A)f(z)}$ とすると答えが発散してしまい、留数を上手く取り出せません。そこで、留数を取り出すために次のようなテクニックを使います。
まず、両辺に $(z-\A)^{k}$ をかけて、
\begin{split}
(z-\A)^{k}f(z) &= a_{-k}+a_{-k+1}(z-\A)+\cdots+b(z-\A)^{k-1}\\
&\qquad +a_0(z-\A)^{k}+a_1(z-\A)^{k+1}+\cdots
\end{split}
とします。次に、上式を $k-1$回微分すると、留数より前の項を上手く除去することができ、
\begin{split}
\ff{\diff^{k-1}}{\diff z^{k-1}}(z-\A)^{k}f(z) &= (k-1)!b+k!a_0(z-\A)+\ff{(k+1)!}{2}a_1(z-\A)^2+\cdots
\end{split}
これより、留数を次のように求めることができます。
\begin{split}
\underset{z=a}{\RM{Res}}\,f(z)=\ff{1}{(k-1)!}\lim_{z\to a}\ff{\diff^{k-1}}{\diff z^{k-1}}\big\{(z-a)^{k}f(z)\big\}=b
\end{split}
位数と極とは？
先述の結果より、ローラン展開の最低次の次数によって留数が決まることが分かりました。
そこで、ローラン展開にて、主要部の最低次の次数のことを位数と呼ぶことにします。また、ローラン展開の中心 $\A$ を極と呼ぶことにします。
たとえば、ローラン展開が $-k$ 次の項から始まるとき、極 $\A$ の次数は $k$ であり、$\A$ は $f(z)$ の $k$ 位の極であるといいます。
以上より、留数は次のように求めることができるのです。
極 $\A$ の位数が $k$ のとき、留数は次のように求められる。
\begin{split}
\RM{Res}(\A)=\ff{1}{(k-1)!}\lim_{z\to \A}\ff{\diff^{k-1}}{\diff z^{k-1}}\big\{(z-\A)^{k}f(z)\big\} \\
\,
\end{split}
留数定理
さて、積分路の中に多数の極（特異点）が含まれているとき、周回積分は次のようにできました。→コーシーの積分公式と特異点の関係
\begin{split}
\oint_C f(z)\diff z=\sum_{j=1}^n\oint_{C_j}f(z)\diff z
\end{split}
それぞれの周回積分は留数を用いて求めることができ、したがって、次のような留数定理を得ることができます。
便利な公式
留数には次のような性質があることが知られています。
$g(z)$ が $z=\A$ にて $g(\A)\neq0$ かつ正則であるとする。
このとき、$f(z)=\DL{\ff{g(z)}{(z-\A)^n}}$ に対して $\A$ は $f(z)$ の $n$ 位の極であると言える。
留数定理の例題
最後に留数定理の例題について見ていきます。
$(1)$ $\DL{\oint_C\ff{e^z}{(z-i)^2}}\diff z$ ただし、$C:|z|=2$ とする。
$e^z$ は $z=i$ にて正則であるため、前述の公式が使え、$\DL{\ff{e^z}{(z-i)^2}}$ の $i$ は $2$ 位の極といえます。
これより、留数定理から、
\begin{split}
\oint_C\ff{e^z}{(z-i)^2}\diff z &= 2i\pi \RM{Res}(i) \\
&= 2i\pi \lim_{z\to i}\ff{\diff}{\diff z}\big\{ (z-i)^2f(z) \big\} \EE
&= 2i\pi \lim_{z\to i}\ff{\diff}{\diff z}e^z \EE
&= 2i\pi e^i
\end{split}
と求められます。式変形途中での複素指数関数の微分についてはこちらで解説しています。
$(2)$ $\DL{\oint_C\ff{1}{(z+i)^3(z-3)^2}\diff z}$ ただし、$C:|z|=2$ とする。
条件より、$C$ 内の極は $z=-i$ のみであり、その位数は $3$ といえます。
これより、周回積分を次のように求められます。
\begin{split}
\oint_C\ff{1}{(z+i)^3(z-3)^2}\diff z &= 2i\pi \RM{Res}(-i) \\
&= 2i\pi \lim_{z\to i}\ff{\diff}{\diff z}\big\{ (z+i)^3f(z) \big\} \EE
&= 2i\pi \lim_{z\to i}\ff{\diff}{\diff z}\left( \ff{1}{(z-3)^2} \right) \EE
&= 2i\pi \lim_{z\to i}\left( \ff{-2}{(z-3)^3} \right) \EE
\therefore\,\oint_C\ff{1}{(z+i)^3(z-3)^2}\diff z &= \ff{-4i\pi}{(-3+i)^3}
\end{split}
$(3)$ $\DL{\oint_C\ff{3}{z^2(z^2+1)}\diff z}$ ただし、$\DL{C:|z-i|=\ff{3}{2}}$ とする。
$C$ 内の極は $0, i$ なので、留数定理より周回積分が次のように求めれらます。
\begin{split}
\ff{1}{2i\pi}\oint_C\ff{3}{z^2(z^2+1)}\diff z &= \RM{Res}(0)+ \RM{Res}(i)\\
\end{split}
それぞれの留数は次のように求めれらるので、
\begin{split}
\RM{Res}(0)&= \lim_{z\to 0}\ff{\diff}{\diff z}\left( \ff{3}{z^2+1} \right) \EE
&= \lim_{z\to 0}\left( \ff{-6z}{(z^2+1)^2} \right) \EE
&= 0
\end{split}
\begin{split}
\RM{Res}(i)&= \lim_{z\to i}\left( \ff{3}{z^2(z+i)} \right) \EE
&= \lim_{z\to i}\left( \ff{-6z}{(z^2+1)^2} \right) \EE
&= \ff{3}{2}i
\end{split}
周回積分の結果は、
\begin{split}
\oint_C\ff{3}{z^2(z^2+1)}\diff z &= -3\pi
\end{split}
となります。
