フーリエ解析・フーリエ変換

フーリエ積分表示・フーリエ複素積分表示とは?|非周期関数のフーリエ級数展開

フーリエ級数展開を非周期関数に拡張する方法について説明します。具体的には、非周期関数を周期が無限大の関数と見なすことで以下のようなフーリエ積分表示が得られます。フーリエ積分表示とは?$f(x)$ を区分的に連続な関数として、区間 $(-\i...
物理数学

三角関数の無限乗積表示の導出|フーリエ級数展開の具体例⑥

ここまで、三角波のフーリエ級数展開や三次関数のフーリエ級数展開などを求めてきましたが、今回は趣向を変えて、三角関数の無限乗積表示と呼ばれる式をフーリエ級数展開により得る方法を説明します。今回、導出を目指す三角関数の無限乗積表示は以下のように...
フーリエ解析・フーリエ変換

三次関数のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例⑤

放物線のフーリエ級数展開に引き続き、今回は三次関数波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、三次関数のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。矩形波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ の三次関数 $...
フーリエ解析・フーリエ変換

放物線のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例④

矩形波のフーリエ級数展開に引き続き、今回は放物線のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、放物線のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。矩形波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ の放物線 $f(x)...
フーリエ解析・フーリエ変換

矩形波のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例③

三角波のフーリエ級数展開に引き続き、今回は矩形波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、矩形波のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。矩形波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ の矩形波 $f(x)...
フーリエ解析・フーリエ変換

のこぎり波のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例②

三角波のフーリエ級数展開に引き続き、今回はのこぎり波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。さて、結論を先に示すと、のこぎり波のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。のこぎり波のフーリエ級数展開表示周期 $2\pi$ ののこぎ...
フーリエ解析・フーリエ変換

三角波のフーリエ級数展開の導出|フーリエ級数展開の具体例①

今回は三角波のフーリエ級数展開の導出過程について説明します。フーリエ級数展開を利用することで、三角関数以外の周期関数も、数式により表現できることを見ていきます。さて、結論を先に示すと、三角波のフーリエ級数展開表示は以下のようになります。三角...
物理数学

リッカチ方程式の解法|非線形微分方程式の解法②

今回は非線形微分方程式の一種である、ベルヌーイの微分方程式の解法について説明します。リッカチ方程式とは?$P(x),Q(x),R(x)$ を $x$ の多項式として、以下で表される非線形微分方程式をリッカチ方程式と呼ぶ。\begin{spl...
物理数学

ベルヌーイの微分方程式の解法|非線形微分方程式の解法①

今回は非線形微分方程式の一種である、ベルヌーイの微分方程式の解法について説明します。ベルヌーイの微分方程式とは?$P(x),Q(x)$ を $x$ の多項式として、以下で表される非線形微分方程式をベルヌーイの微分方程式と呼ぶ。\begin{...
ラプラス変換

ラプラス変換による波動方程式の解法|ラプラス変換による微分方程式の解法⑧

今回は偏微分方程式のラプラス変換について考え、これにより波動方程式のラプラス変換による解法を説明します。まず、二変数関数のラプラス変換には次のような性質を持ちます。二変数関数のラプラス変換二変数関数 $f(x,t)$ について、変数 $t$...