物理数学ベルヌーイの微分方程式の解法｜非線形微分方程式の解法①
今回は非線形微分方程式の一種である、ベルヌーイの微分方程式の解法について説明します。ベルヌーイの微分方程式とは？$P(x),Q(x)$ を $x$ の多項式として、以下で表される非線形微分方程式をベルヌーイの微分方程式と呼ぶ。\begin{...
物理数学
ラプラス変換ラプラス変換による波動方程式の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法⑧
今回は偏微分方程式のラプラス変換について考え、これにより波動方程式のラプラス変換による解法を説明します。まず、二変数関数のラプラス変換には次のような性質を持ちます。二変数関数のラプラス変換二変数関数 $f(x,t)$ について、変数 $t$...
ラプラス変換ラプラス変換による積分方程式の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法⑦
ここまでは、単振動のラプラス変換や減衰振動のラプラス変換、強制振動のラプラス変換を考えてきました。今回は趣向を変えて、式中に積分の項を含むような、積分方程式のラプラス変換による解法を考えます。積分方程式とは？積分方程式：式中に、未知の関数の...
ラプラス変換ラプラス変換によるベッセルの微分方程式の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法⑥
今回は変数係数の微分方程式の例として、ベッセルの微分方程式のラプラス変換による解法を考えます。ベッセルの微分方程式以下の微分方程式をベッセルの微分方程式と呼ぶ。\begin{split}\ff{\diff^2 J_n(x)}{\diff x...
ラプラス変換ラプラス変換による連成振動の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法⑤
前回、ラプラス変換による連立微分方程式の解法を考えました。今回はこれを連成振動に応用することを考えます。この計算でも、ラプラス変換を用いて連立微分方程式を代数方程式に変換することがポイントとなります。さて、今回解く対象となるのは以下に示す連...
ラプラス変換ラプラス変換による連立微分方程式の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法④
ここまでは、単振動のラプラス変換や減衰振動のラプラス変換、強制振動のラプラス変換を考えてきました。今回は趣向を少し変えて、連立微分方程式のラプラス変換による解法を考えます。この解法では、ラプラス変換によって連立微分方程式を代数方程式に変換す...
ラプラス変換ラプラス変換による強制振動の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法③
減衰振動のラプラス変換に引き続き、今回は強制振動のラプラス変換を考えます。特性方程式を用いた強制振動の解法についてはこちらで説明していますが、ラプラス変換により強制振動の解を導くことが今回のポイントとなります。なお、今回解く対象となるのは以...
ラプラス変換ラプラス変換による減衰振動の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法②
単振動のラプラス変換に引き続き、今回は減衰振動のラプラス変換を考えます。特性方程式を用いた減衰振動の解法についてはこちらで説明していますが、ラプラス変換により減衰振動を考えることが今回のポイントとなります。なお、今回解く対象となるのは以下に...
ラプラス変換ラプラス変換による単振動の解法｜ラプラス変換による微分方程式の解法①
今回より、ラプラス変換とラプラス逆変換を組み合わせて微分方程式を解く方法について説明します。この方法は図のような手順で行う解法となります。すなわち、微分方程式をラプラス変換して代数方程式の形に変形し、この代数方程式から求めたい解を得て、最後...
物理数学ブロムウィッチ積分とは？｜ラプラス逆変換の公式とその応用
ラプラス逆変換を求める際には、ラプラス逆変換表を参照するのが基本的な方法ですが、ラプラス逆変換にも計算公式が存在しています。この公式はブロムウィッチ積分と呼ばれる積分で次の様に記述されます。ブロムウィッチ積分とは？以下のように記述される複素...